In questa lezione esamineremo l'analisi statica delle travi a struttura
nella fattispecie di travi ad arco.
In particolare introduciamo l'arco di tipo parabolico e consideriamo una trave appoggiata e soggetta ad un carico uniformemente distribuito come in figura con gli appoggi in A e in B e il carico uniformemente distribuito di valore q
lungo tutto l'asse della trave.
Vogliamo calcolare la posizione generica S ad un'ascissa S sulla trave
rispetto al carico distribuito e in funzione delle sollecitazioni che ne derivano,
in questo caso in funzione delle caratteristiche taglio e momento.
Detta X la distanza dell'appoggio della sezione S rispetto all'appoggio in A
l'equazione della linea può essere descritta da
(ql/2-qz)x ovvero per il valore della distanza dall'appoggio in A
meno (qz)z/2 = 0;
da questa equazione ricaviamo il valore di x che è uguale a
z al quadrato/l-2z (z è l'ascissa a cui immaginiamo la sezione applicata ad S).
Se consideriamo un tronco di trave da A ad S
con un carico distribuito lungo la parte di trave ipotizzata
la stessa si può schematizzare attraverso una forza fittizia concentrata q,
applicata lungo l'asse verticale alla direzione dell'asse della trave stessa, per z che rappresenta la lunghezza del concio in esame. Pertanto il carico concentrato q è uguale ad una forza concentrata fittizia q per z.
Su questi tratti di trave si sviluppano delle reazioni.
La reazione dovuta alla presenza del carrello in A
è data dal valore q (valore del carico) per l/2
dove l/2 è il valore dell'asse della trave.
La retta d'azione della risultante in A
è la retta verticale passante per il carrello in A.
Facendo variare l'ascissa S considerata da A a C nel primo caso (nel punto medio della trave)
l'ascissa z varia da 0 a l/2.
Le rette d'azione delle risultanti di queste forze
relative alla prima metà della sezione di trave individuano una serie di valori delle sollecitazioni,
in particolare le rette verticali che poi sono quelle rappresentative delle reazioni vincolari per effetto dell'appoggio in A.
Analogamente possiamo ripetere lo stesso discorso
facendo variare la S da C a B, ovvero nella seconda metà della trave,
in questo caso si studiano e si determinano i valori delle sollecitazioni
anche su questa parte della trave in funzione di
quelle che sono le rette verticali rappresentative delle reazioni vincolari al carrello in B
cioè alla reazione vincolare per effetto del vincolo posto in B.
Alla sezione C corrisponde la retta impropria
in accordo con il fatto che la risultante delle forze in C è nulla;
tutte le rette improprie sono verticali per cui
le reazioni in questo caso nei carrelli B e sull'appoggio in A sono di tipo verticale.
Considerando anche la direzione della forza F (verticale)
le rette non si incontreranno mai o meglio esisterà un punto improprio
in cui ci sarà l'equilibrio della struttura, in questo caso mai.
La risultante è nulla, la curva delle pressioni si comincia a costruire considerando, in virtù di quanto appena detto, che la curva delle pressioni è nulla nel punti A e B, dove sono posti i vincoli,
laddove si incontra con la reazione vincolare
e avrà un valore massimo laddove è applicata la forza fittizia concentrata
in questo caso nel punto C.
Poiché il carico applicato alla sezione è uniformemente distribuito
il momento sarà parabolico per quanto espresso.
Il problema è come costruire la curva delle pressioni
in questo caso di trave appoggiata appoggiata soggetta ad un carico uniformemente distribuito.
Andando a rappresentare la forza f = ql corrispondente alla
forza fittizia indicativa del carico concentrato
e considerando un punto scelto a caso, rispetto ad esso individueremo i due asintoti che sono quelli con cui si costruisce la curva delle pressioni fittizia.
In particolare il tratto di retta indicato individua il primo asintoto
che è quello concentrato in A,
mentre la seconda retta evidenziata individua l'asintoto posto in B.
E' necessario conoscere il valore del terzo asintoto
al fine di poter individuare la curva delle pressioni parabolica.
In questo caso poiché troviamo il punto C nel punto medio
basta definire un punto, a partire dall'asse della trave, significativo pari a ql quadro/8,
questo punto individua il valore di massimo della parabola.
In questo punto basta tracciare una retta parallela all'asse della trave
e questo indicherà il terzo asitoto.
Conoscendo il primo, il secondo e il terzo asintoto
si riesce ad individuare la parabola che rappresenta la curva delle pressioni
relativa ad un carico uniformemente distribuito.
Poiché il diagramma rappresentato è positivo
l'area del momento nella fattispecie è tutta quella sottesa all'asse della trave
e posta al di sotto di esso, ovvero dalla parte delle fibre tese della trave in esame.
Questo è un metodo grafico facile che che ci consente
di costruire in maniera abbastanza precisa la curva delle pressioni
in particolare il momento flettente agente sulla trave.