Molto importante chiarire le operazione fondamentali delle proiezioni.
Ci sono due fondamentali tipi di proiezione:
proiezione, da un punto o da una retta;
sezione, con una retta o con un piano.
Questi sono due metodi che ci fanno conoscere l'oggetto attraverso la sezione, una retta, un piano.
Osservando quest'immagine possiamo capire
cos'è in concreto il concetto di proiezione.
Se prendiamo un piano alfa (α)
e un punto c nello spazio non appartenente al piano,
chiameremo α piano di proiezione e c centro di proiezione.
Il centro di proiezione corrisponde al nostro occhio che guarda l'oggetto
e come questo oggetto viene proiettato sul piano.
Nello specifico il punto P rappresenta
il punto che viene proiettato sul piano e la sua proiezione sarà P'.
Da un altro punto P nello spazio
chiameremo proiezione del punto P da C (indicato come punto di proiezione)
la costruzione del segmento CP detto raggio proiettante.
Verranno detti proiettanti
tutti gli elementi che contengono il centro di proiezione ovvero il punto C.
E' importante capire il concetto di sezione
perché la sezione del raggio proiettante (il segmento CP)
con il piano di proiezione individua rispetto al piano alfa (α)
un punto P' detto immagine del punto P sul piano
o anche proiezione di P sul piano (α).
Qualora il punto P si trovi sul piano alfa (α),
la proiezione P' del punto P
coincide con il punto stesso che viene detto punto unito.
Ciò vuol dire che se due punti saranno corrispondenti
verranno definiti punti uniti.
Cerchiamo di capire il concetto di proiezione:
se applichiamo ad un segmento PQ dello spazio
l'operazione geometrica fondamentale di proiezione e sezione
da un punto C su un piano
se ne determineranno i rispettivi punti P' Q'
che rappresentano le proiezioni del punti PQ su questo piano. In analogia si verificherà il fenomeno fisico delle ombre
ovvero la retta P'Q' quando si rifletterà sul piano
genererà la sua ombra.
Ci sono diversi metodi della geometria descrittiva
utili per la rappresentazione degli oggetti nello spazio ad esempio:
la rappresentazione prospettica, la ripresa fotografica,
e la proiezione dell'ombra di un oggetto su un piano.
Attraverso questi tre metodi
una proiezione può variare in relazione alla posizione del piano.
Come possiamo vedere nell'immagine il piano è P':
nella prima immagine essa cade quasi al centro del segmento CP,
nella seconda immagine cade all'inizio del segmento,
e nella terza cade verso la fine del segmento.
Ciò vuol dire che avremo delle proiezioni diverse
a seconda dell'orientamento del piano.
Chiariamo i vari tipi di proiezione che si possono avere:
parallela nel primo caso, conica o centrale nel secondo caso.
Nel primo caso se il centro di proiezione è improprio (identificato con il punto C∞)
i raggi proiettanti sono paralleli e quindi anche rispetto al piano,
a differenza del secondo caso dove dal centro di proiezione C
partono delle rette che non sono parallele
e incontreranno in maniera inclinata il piano di proiezione P.
I metodi di rappresentazione si differenziano
secondo due classi fondamentali:
modelli geometrici che hanno un centro di proiezione finito
ovvero sono dotati di punti propri che generano proiezioni definite centrali o coniche, e modelli fondati su operazioni proiettive da centri impropri e quini all'infinito,
le distanze infinite producono raggi proiettanti tra essi paralleli
e questo è il caso delle proiezioni parallele o cilindriche
definite anche rispettivamente ortogonali o oblique. Nell'immagine si nota il tipo di proiezione che si può avere:
nelle proiezioni centrali o coniche
il punto dell'osservatore sarà identificato come C2
le proiezioni sul piano andranno a formare dei coni e la proiezione della retta PQ sul piano sarà identificata dai punti P'', P', Q',Q''.
Sono identificati questi tre punti rispetto al punto C'' e C',
P'' e Q'' saranno riferite come proiezioni della retta rispetto al punto C''.
Per quanto riguarda invece le proiezioni parallele o cilindriche ortogonali
i raggi di proiezione sono diversi dal primo caso
perché essi sono paralleli tra di loro rispetto al piano
e la proiezione della retta PQ sul piano avrà i suoi punti identificativi che sono P',Q'.
Il terzo caso riguarda le proiezioni parallele o cilindriche oblique
dove avremo sempre la stessa inclinazione del piano
mentre i raggi proiettanti saranno sempre paralleli tra loro
ma con un'inclinazione diversa dal secondo caso.
Anche qui le proiezioni della retta PQ saranno rispettivamente P',Q''.
infatti è importante ricordare che qualsiasi punto di un piano o retta si proietti
la sua proiezione avrà sempre come apice P', Q', P'', Q''
perché rappresentano le proiezione dei punti P, Q.
Esistono dei principali metodi di rappresentazione della prospettiva,
nello specifico sono quattro:
il metodo della prospettiva lineare conica;
il metodo delle proiezioni parallele;
il metodo della doppia proiezione ortogonale chiamato anche metodo di Monge;
il metodo dell'assonometria;
infine quello dei piani o delle proiezioni quotate.
Attraverso questi quattro metodi completamente diversi tra di loro,
si hanno delle regole scientifiche che
consentono di rappresentare l'oggetto nello spazio.
Verifichiamo uno dei metodi, quello delle proiezioni del punto sulla retta:
proiettare un punto P su di una retta r, dal centro di proiezione O,
significa condurre una retta s da un punto O ad un punto P,
fino ad incontrare la retta r nel punto P'.
Il secondo tipo, la proiezione del punto sul piano, afferma che:
se abbiamo un punto P esterno al piano, dal centro di proiezione O,
se vogliamo fare incontrare questa retta con il piano,
essi si incontreranno nel punto P'.
Il punto P' sarà detto immagine del punto P.
Per quanto riguarda l'operazione di sezione di una retta con un'altra:
sezionare una retta r con un'altra s significa
trovare il punto di intersezione P.
Possiamo avere anche operazioni di sezione di una retta con un piano:
la retta taglierà il piano in un particolare punto
e riusciremo a capire quali sono le proiezioni della retta
in quel particolar punto del piano sezionato.
Sezionare, ad esempio, una retta r con un piano significa trovare il punto R in comune tra la retta r e il piano beta (β).
Nell'altro caso (evidenziato in figura) il punto R è esterno al piano
per questo motivo non avremo l'intersezione tra il piano e la retta.
Il punto R è detto traccia della retta r sul piano β.
Se la retta r invece è parallela al piano,
la traccia è il suo punto improprio
(punto improprio vuol dire che non appartiene al piano β).
Esistono importanti relazioni che collegano, ad esempio, due piani
i quali possono essere incidenti o paralleli.
Se effettuiamo un'operazione di sezione di due piani tra loro,
facendo incrociare il piano alfa (α) e il piano beta (β),
la loro intersezione è rappresentata dalla retta r.
Allo stesso modo se parliamo di piani paralleli
vedremo che il piano alfa (α) sarà parallelo al piano beta (β)
e non ci sarà nessuna retta di intersezione che li unisce.
Ci sono delle proprietà comuni a tutti i metodi di rappresentazione
e sono elencati soprattutto in questi tre principi fondamentali:
1) è consentito rappresentare oggetti tridimensionali su uno o più piani di proiezione;
2) esiste una corrispondenza biunivoca tra l'oggetto e l'immagine;
3) utilizzando le operazioni fondamentali della geometria proiettiva vedremo che
ogni punto è proiettato da un centro di proiezione
(identificato con il nostro occhio che osserva l'immagine)
e la sua immagine si determina sezionando il raggio proiettante con il piano di rappresentazione.