Diamo le definizioni delle proprietà proiettive.
Una delle definizioni fondamentali per capire tali proprietà
è quella di appartenenza dei punti, rette, piani.
Vediamo che cosa vuol dire proprietà di appartenenza:
se abbiamo un qualsiasi punto Q appartenente alla retta r
che è formata da due estremi PQ,
anche la sua immagine Q' apparterrà alla retta r'
definita retta immagine di r sul piano alfa (α).
Diamo adesso la definizione di proprietà di allineamento o collinearità:
se abbiamo tre punti allieati su una retta P,R e Q
le immagini corrispondenti P', R' e Q'
saranno anch'esse allineate sulla retta r'
detta a sua volta immagine di r sul piano gamma
ciò significa che i punti P', R' e Q'
sono proiezioni sulla retta r' dei punti P, R e Q.
Per quanto riguarda le proprietà di incidenza:
se due rette sono complanari (hanno un punto in comune) ad esempio come si nota nell'immagine le rette s ed r, anche le loro immagini s' ed r' saranno anch'esse rette complanari e incidenti nel punto R' che corrisponde alla proiezione del punto R.
Diamo altre due definizioni importanti, quelle del punto e della retta.
Il punto è un ente geometrico privo di dimensioni
e solitamente viene indicato con delle lettere maiuscole (P,Q,S),
a differenza della retta che è un ente ad una sola dimensione
ma è l'insieme di più punti nello spazio
che definiscono, secondo la direzione stabilita, la direzione della retta
e questa viene indicata con delle lettere minuscole (r, s, t).
Le rette si distinguono per una diversa direzione nel piano,
le rette parallele avranno la stessa direzione nel piano
mentre quelle incidenti avranno direzioni opposte
e si incontreranno in un punto, ad esempio R.
Definiamo il piano:
è un ente a due dimensioni, lunghezza e larghezza
ed è l'insieme infinito di punti che appartengono a delle rette
ad esmpio la retta per dove passano i punti a,b, c.
I piani si indicano con delle lettere greche minuscole (α, β)
e si distinguono per la loro diversa giacitura.
Le giaciture fondamentali sono quella orizzontale e verticale
ad esempio piani paralleli hanno la stessa giacitura
anche se non si toccano tra di loro.
Ci sono altri fondamenti della geometria proiettiva che vanno ricordati
e sono degli assiomi che caratterizzano
le regole scientifiche della geometria proiettiva e sono:
due punti individuano una sola retta;
tre punti non allineati individuano un solo piano;
una retta ed un punto non appartenente alla retta individuano un solo piano;
due rette con un punto in comune sono incidenti ed individuano un piano;
Osserviamo i postulati della geometria euclidea:
due piani nello spazio o sono incidenti o sono paralleli,
se sono paralleli non hanno alcun punto in comune
a differenza dei due piani incidenti che hanno la retta in comune che li unisce.
La geometria proiettiva non si avvale soltanto degli assiomi della geometria
fondata sugli elementi al finito,
ma ci sono anche delle proprietà che legano gli elementi all'infinito
perché gli elementi possono essere rappresentati anche tridimensionalmente
e avere delle relazioni diverse
quindi bisogna introdurre altri concetti fondamentali,
ad esempio il punto improprio, retta impropria, piano improprio.
Per quanto riguarda la definizione di punto improprio consideriamo una retta r e un suo punto esterno ad essa. Se per il punto esterno S facciamo passare una retta s
che intersecherà la retta r nel punto P,
si formerà il punto improprio identificato come il punto P all'infinito.
Se facciamo ruotare la retta s intorno al punto S,
il punto di intersezione tra due rette si sposterà
assumendo delle posizioni sempre più lontane dal punto P.
fino al limite in cui, assumendo la retta r una direzione parallela alla retta s,
il punto di intersezione sarà all'infinito detto punto improprio.
Nell'immagine è possibile vedere quanto appena detto:
ogni retta ha un punto improprio che è comune a tutte le rette parallele.
In questo caso il punto improprio corrisponde al punto S,
comune a tutte le rette che si incrociano in questo punto (s, s1, s2).
Quando queste rette incrociano la retta r
si formano ulteriori punti di intersezione.
La geometria amplia i concetti della geometria elementare
e consente di riformulare i postulati euclidei.
Ci sono due postulati molto importanti che bisogna considerare:
due rette in un piano hanno sempre un punto in comune
e queste rette possiamo chiamarle incidenti,
mentre il punto in comune non lo troveremo se si parla di rette parallele.
Il secondo postulato importante è quello di definire due piani nello spazio
che se hanno una retta in comune essa viene chiamata incidente,
se invece i due piani non hanno alcuna retta in comune
i due piani sono impropri e paralleli.