Parliamo adesso di funzioni monotone e di funzioni limitate.
La funzione si dice monotona se si verifica una delle seguenti condizioni:
f è strettamente crescente, f è crescente,
f è strettamente decrescente o f è decrescente.
a. Diremo che una funzione è strettamente crescente
se, considerati x1 e x2 appartenenti all'insieme A,
x1 è minore di x2 e di conseguenza
le loro immagini f(x1) e f(x2) si troveranno nella stessa relazione ⇒ f(x1)<f(x2). <="" td="">
b. Una funzione f è crescente allo stesso modo, solo se x1≤x2
e le loro immagini si trovano nella stessa relazione.
c.Strettamente decrescente si ha che x1 minore di x2,
ma l'ordine delle immagini è invertito
quindi f(x1) è maggiore strettamente di f(x2).
d. f è decrescente se x1 è minore di x2,
ma f(x1) è maggiore o uguale di f(x2).
Una funzione che verifica il punto a o il punto c
è detta "strettamente monotona";
Una funzione che verifica il punto b o il punto d
è chiamata "monotona".
Successivamente studieremo il criterio di invertibilità utile per verificare se una funzione è monotona.
Per ora osserviamo che, data una funzione fra gli insiemi A e B,
suriettiva (cioè tale che ad ogni y appartenente all'insieme B corrisponda almeno un elemento x appartenente all'insieme A),
allora se f è strettamente monotona è anche invertibile.
Accenniamo una piccola dimostrazione:
sappiamo che per ipotesi ad ogni y ∈ B corrisponde almeno un x ∈ A,
per dimostrare la biettività dobbiamo dimostrare che esiste un'unica x ∈ A
per cui f(x) è uguale ad y.
Supponiamo per assurdo che ad ogni y ∈ B corrispondessero due x distinte, x1 e x2,
con x1 è minore o maggiore di x2,
allora a causa della stretta monotonia
l'ordine f(x1) minore di f(x2) permane, oppure si inverte f(x1) maggiore di f(x2).
In ogni caso f(x1) risulterebbe diverso da f(x2) ma entrambi uguali ad y
e questo è assurdo perché sappiamo per definizione che esiste almeno un elemento tale che f(x) sia uguale ad y.
y nella dimostrazione corrisponderebbe invece a due valori differenti
e ciò sarebbe impossibile.
Forniamo degli esempi.
Dimostriamo che la funzione data y=2x+1 è strettamente crescente.
Se x1 è minore strettamente di x2,
dobbiamo dimostrare che anche le immagini si trovano nella stessa relazione.
Per la compatibilità del minore rispetto al prodotto
se moltiplichiamo otteniamo la stessa relazione,
per la compatibilità del minore rispetto alla somma, accade lo stesso anche se andiamo a sommare,
quindi f(x1) è minore di f(x2).
Anche gli altri esempi sono facilmente verificabili.
Nella seconda la funzione y=1/x è una funzione strettamente decrescente
perché se x1 è minore di x2, i reciproci staranno nella relazione inversa.
Prendendo ad esempio 3 < 4,
1/3 sarà maggiore di 1/4.
Quindi la relazione inversa rispetto al < sarà una funzione strettamente decrescente.
L'ultima funzione invece non è monotona
infatti se diamo ad x1 valore -3 e ad x2=4, le immagini ottenute corrisponderanno a 0, per questo non è monotona.
Concludiamo parlando di funzioni limitate-
Data una funzione definita in A con valore in B,
per ogni sottoinsieme X di A,
si definisce un estremo superiore ed un estremo inferiore.
L'estremo superiore (o l'estremo inferiore) per una funzione
non sono altro che l'estremo superiore (o inferiore) dell'insieme delle immagini,
tale insieme sappiamo essere un insieme numerico.
(Nelle precedenti lezioni abbiamo già definito l'estremo superiore e inferiore della funzione reale.)
Presa la funzione, preso X sottoinsieme di A, calcoliamo f(x)
e su questo calcoliamo l'estremo superiore e l'estremo inferiore
che risultano essere nient'altro che l'estremo superiore o inferiore della funzione.
Diremo che la funzione f è limitata superiormente (o inferiormente)
se l'insieme delle immagini f(X) (insieme dei numeri reali) è limitato superiormente (o inferiormente). Di conseguenza la funzione f è limitata su X,
se l'insieme delle immagini f(X) è un insieme limitato.
L'insieme dei numeri reali risulterà essere limitato
quando è limitato superiormente e inferiormente.