Introduciamo le disequazioni di secondo grado leggermente più ostiche.
Una disequazione di secondo grado, se è ridotta a forma normale,
è del tipo a a(x) minore di 0 o maggiore di 0
con a(x) polinomio di secondo grado nell'incognita x.
Per risolvere questa disequazione abbiamo necessità di
saper risolvere l'equazione associata di secondo grado,
ovvero quella ottenuta ponendo il polinomio a(x) uguale a 0
e trovarne le radici.
Di seguito ci proponiamo di studiare il segno di questo polinomio di secondo grado al variare della x.
A tal fine, consideriamo il discriminante delta (Δ),
che risulta essere uguale a b quadro meno 4ac,
e distinguiamo i diversi casi.
Nel primo caso il delta è minore di 0:
dallo studio delle equazioni è noto che in questo caso il trinomio non ammette radici reali
(non ha 0, cioè non esiste alcuna x che, sostituita nel trinomio, lo annulli),
in questo caso per scoprire il segno del trinomio moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4a.
Quello che si ottiene è un'espressione di questo tipo,
poi aggiungiamo e sottraiamo b quadro al numeratore
e raccogliamo i termini simili
ottenendo un'espressione di questo tipo.
2ax quadro meno b quadro è certamente non negativo
perché è un quadrato (al massimo potrebbe essere uguale a 0),
meno 4ac meno b quadro è uguale a meno il delta,
essendo il delta negativo questa quantità sarà positiva
(perché sarà meno delta).
Il numeratore della frazione, essendo la somma di due numeri positivi, è positivo.
Il segno dipenderà dalla a posta al denominatore:
se a è maggiore di 0 il il trinomio è positivo,
se a è minore di 0 il trinomio è negativo.
Vale la seguente definizione:
se il delta è minore di 0 il trinomio ha segno concorde con il primo coefficiente,
qualunque sia la x.
Quindi la disequazione è sempre verificata.
Nel caso in cui il delta è uguale a 0
l'equazione a(x), che abbiamo trovato nella slide precedente (ovvero l'espressione in evidenza ottenuta con gli stessi passaggi precedenti),
si ridurrà a una espressione di questo tipo (sempre in evidenza)
perché il delta è nullo e si elimina.
Il numeratore è positivo perché è il quadrato
e il segno dipenderà dal coefficiente a.
In questo caso se a è maggiore di 0 il trinomio è positivo,
se a è minore di 0 Il trinomio negativo
In sintesi se il delta è uguale a 0,
il trinomio ha segno concorde con il primo coefficiente,
per ogni x diversa da -b/2a
perché per questo valore il numeratore si annulla.
Infine il caso più ostico, con il delta maggiore di 0:
per le proprietà delle equazioni, in questo caso, il trinomio ammette due radici reali e distinte.
Dette x con uno e x con due le suddette radici,
il polinomio si può scrivere in questa forma (in evidenza),
questo perché sappiamo che le radici del polinomio
sono legate ai coefficienti del polinomio stesso per la regola di Cartesio.
Si ricorda che valgono le seguenti relazioni:
x con uno più x con due uguale a -b/a,
e il prodotto delle due radici è uguale al quoziente del termine noto fratto il primo coefficiente.
Allora posso moltiplicare e dividere per a il polinomio di partenza
e ottenere un'espressione di questo tipo (in evidenza).
Ricordando che queste relazioni (indicate con l'asterisco) possono essere applicate,
le sostituiamo e otteniamo un'espressione del polinomio di questo tipo (in evidenza).
Facendo tutte le dovute operazioni e moltiplicazioni,
si ottiene a(x) in questa forma (indicata in figura),
mettiamo in evidenza i relativi termini simili
e otteniamo un'espressione del polinomio di questo tipo (evidenziata in rosso).
In questo caso per studiare il segno è necessario distinguere due casi:
nel primo caso x con 1 è minore di x con due, se considero anche x minore di x con uno
avremo che anche x sarà minore di x con 2,
quindi i termini x meno uno e x meno due
saranno entrambi negativi e il loro prodotto sarà positivo.
Invece se x è maggiore di x con due
allora x è maggiore di x con uno che è maggiore di x con due
quindi x meno x con uno e x meno x con due saranno entrambi positivi e il loro prodotto sarà positivo.
In questo caso il segno del trinomio dipende solo dal segno del primo coefficiente
e sarà con esso concorde.
Nell'ipotesi in cui x con uno è minore di x e x è minore di x con due
i due fattori x meno x con uno è positivo, mentre x meno x con due è negativo, hanno segno discorde,
quindi il loro prodotto è negativo
e il segno del trinomio sarà discorde con il segno del primo coefficiente.
Questo accade per le x appartenenti all'intervallo x con uno e x con due,
in genere graficamente questo tipo di soluzione si riporta in questo modo (evidenziato)
dove per le x che verificano la disequazione
si mette una linea continua
e altrove risulta essere tratteggiata Si dice per i dolori interni ?????
Riassumendo brevemente:
considerato il polinomio di secondo grado ax al quadrato più bx più c
se il delta è minore di 0, questo ha segno concorde con il primo coefficiente qualunque sia la x
di conseguenza è sempre verificato;
se il delta è uguale a 0, ha segno concorde con il primo coefficiente per qualsiasi valore della x
eccetto il valore -b/2a;
infine se il delta è maggiore di 0, ha segno concorde per il primo coefficiente
per i valori della variabile x esterni all'intervallo determinato dalle radici.
Segno discorde per i valori interni all'intervallo determinato dalle radici.
Facciamo un breve esempio per il primo caso:
consideriamo il delta minore di 0 e questa disequazione (in evidenza),
calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore.
In questo caso il polinomio diventa di questo tipo (in evidenza),
una disequazione di secondo grado.
Riduciamo la disequazioni in forma normale
e otteniamo questa espressione (in evidenza) e ne studiamo il delta
che in queto caso risulta essere negativo,
il primo coefficiente è positivo e,
per quanto appena visto, se il delta è negativo,
il trinomio ha segno concorde con il primo coefficiente,
qualunque sia la x, cioè sarà sempre positivo.
La disequazione è verificata per ogni x,
tutti gli elementi x soddisfano quella disequazione.
Consideriamo un esempio sul secondo caso
cioè quando il delta è uguale a 0:
anche in questo caso prendiamo un'espressione di questo tipo (in evidenza)
e calcoliamo il minimo comune multiplo per eliminare il denominatore.
Riduciamo il tutto in forma normale ottenendo una disequazione di questo tipo (in evidenza)
che equivale (e basta osservare che questo è il quadrato di un binomio)
a x meno 2 al quadrato maggiore di 0.
Il polinomio è quindi un quadrato di un binomio
di conseguenza il delta sarà nullo,
il trinomio segno concorde con il primo coefficiente
ogni volta che si sceglie x diverso da meno b fratto 2a
perché questi valori annullano il numeratore
e la disequazione non sarebbe più verificata.
In questo caso il primo coefficiente è positivo
e quindi la disequazione sarà sempre verificata per ogni x,
tale, però, che x sia diversa da 2,
e che corrisponde nell'esempio fatto a meno b/2a.
Nel terzo caso il delta è maggiore di 0:
consideriamo un'espressione di questo tipo (in evidenza)
e riduciamola in forma normale mediante semplificazioni
che mi permettono di eliminare il denominatore.
Otteniamo un'espressione di questo tipo (in evidenza)
e poiché il coefficiente b è divisibile per 2
posso calcolare il delta quarti
che in questo caso sarà positivo, delta maggiore di 0.
In questo caso dobbiamo calcolare
le radici dell'equazione di secondo grado associata
e possiamo utilizzare (poiché ho utilizzato il delta quarti in quanto il secondo coefficiente è divisibile per 2)
la formula ridotta mediante la quale ottengo due radici qui riportate, -28/9 e 2.
Poiché il trinomio deve essere positivo,
cioè concorda con il primo coefficiente,
dobbiamo considerare i valori esterni a queste radici
che in forma algebrica si scrivono come
x minore di -28/9 unito a x maggiore di 2,
e graficamente si riportano nel seguente modo.
Quindi vado a considerare che le soluzioni sono
tutte quelle da 2 in poi e tutte quelle minori di meno 28/9.
Nel terzo caso, sempre delta maggiore di 0,
consideriamo questa espressione e riduciamola in forma normale,
osserviamo subito che meno 9, ovvero il primo coefficiente, è negativo
ma lo posso riportare, cambiando di segno tutti i termini
e cambiando il verso della disequazione, nella forma positiva.
Infine avremo 9x al quadrato meno 8x meno uno minore di 0.
Studiamo sempre il delta, anche in questo caso è possibile fare il delta quarti,
e ottenere che il delta sia maggiore di 0.
Calcoliamo le radici del trinomio, che in questo caso sono -1/9 e 1
e cerchiamo le x che soddisfano la disequazione
ovvero le x tali che il polinomio risulti negativo,
con segno discorde dal primo coefficiente
e ciò accade per i valori interni all'intervallo determinato dalle due radici
che abbiamo considerato.