In questa lezione faremo un breve richiamo alle disequazioni
questo perché le disequazioni risulteranno uno strumento importante
nello studio delle funzioni in particolare ma nello studio della matematica in generale.
L'obiettivo della lezione prevede
dei richiami alle disequazioni
in particolare quelle di primo e secondo grado,
e ai loro metodi risolutivi
Vedremo in particolare:
le proprietà delle disuguaglianze tra numeri relativi
(che saranno utili per una serie di calcoli),
le disequazioni in generale
(daremo delle brevi definizioni),
le disequazioni di primo grado e le disequazioni di secondo grado con i relativi metodi risolutivi.
Consideriamo due numeri reali a, b con a diverso da b si ha
per l'ordinamento totale presente nell'insieme dei numeri reali che
se a è maggiore di b, a è minore di b
a meno b è maggiore di 0, a meno b è minore di 0.
Invece se a è maggiore di b
per ogni numero c intero relativo si ha che
a più c è maggiore di b più c.
La disuguaglianza dice che:
posso aggiungere o sottrarre un qualsiasi numero alla disuguaglianza a maggiore di b
e il segno non cambia.
Inoltre se a è maggiore di b, c è maggiore di d si avrà che
a più c e maggiore di b più d.
Se dalla disuguaglianza sommo al primo membro una quantità superiore
a quella sommata al secondo membro la disuguaglianza non cambia
Se a è maggiore di b e c è un numero positivo
a per c è maggiore di b per c,
mentre se c è un numero negativo cambia il segno della disuguaglianza.
Questo vuol dire che moltiplicando ambo i membri per lo stesso numero
la disuguaglianza cambia di segno se il numero è negativo,
mentre permane nel segno se il numero è positivo
Consideriamo quattro numeri positivi a, b, c,d.
Se a è maggiore di b, c è maggiore di d
a per c è maggiore di b per di d,
quindi se moltiplico il primo membro della disuguaglianza
per una quantità superiore a quella moltiplicata al secondo membro,
la disuguaglianza non cambia.
Se a, b sono numeri di segno concorde,
entrambi positivi o entrambi negativi,
con a maggiore di b
passando ai reciproci cambia il segno della disuguaglianza.
Infine se a, b sono numeri positivi ed n è un intero positivo ho che
se a è maggiore di b, a elevato a n è maggiore di b elevato a n.
Se a è uguale a b, si ottiene l'uguaglianza per elevazione a potenza.
Se a è minore di b, a elevato a n è minore di b elevato a n.
Queste tre proprietà affermano che:
se si elevano a potenza ambo i membri di una disequazione, considerato l'uguale
(perché spesso nelle disequazioni il segno non è di stretta minoranza o di stretta maggioranza
ma a volte c'è il minore o uguale o il maggiore o uguale),
se il numero è positivo
il segno della disuguaglianza non cambia, resta inalterato.