Nella scorsa lezione abbiamo introdotto le principali funzioni elementari
ed abbiamo individuato il loro campo di esistenza.
In questa lezione ci occuperemo di studiare
le tecniche per determinare
il campo di esistenza delle funzioni elementari,
e presenteremo una serie di esercizi.
Ricordiamo che il campo di esistenza di una funzione
è il più grande insieme in cui
ha senso scegliere la nostra variabile x,
per cui la formula y= f(x) ha significato.
Supponiamo di avere la funzione y= f(x)
dove x rappresenta la variabile indipendente,
f rappresenta una serie di operazioni che
ci consentono di passare dalla variabile indipendente x alla variabile dipendente y
La sola formula, però, non basta per definire una funzione
né possiamo prendere come campo di esistenza di una funzione
un qualsiasi sottoinsieme dell'insieme di definizione,
che generalmente corrisponde all'insieme dei numeri reali,
perché parliamo di funzioni di variabile reale.
E' necessario stabilire anche il dominio più grande
in cui abbia senso la formula y= f(x).
Verifichiamo i seguenti esempi
e analizziamo le funzioni elementari più semplici
ovvero le funzioni razionali intere di primo grado,
che si esprimono attraverso un polinomio di primo grado.
L' espressione più semplice in questa classe è y= x
Le domande a cui dobbiamo rispondere
per determinare il campo di esistenza
sono fondamentalmente 3.
La premessa che bisogna tenere in mente
è la definizione di campo di esistenza della funzione cioè:
il più grande insieme dei numeri reali
in cui può variare x
affinché esista il valore di y e sia unico.
Le 3 domande da porsi sono:
1. ci sono valori di x per cui y non esiste?
2. ci sono valori di x per cui y non è un numero reale?
3. ci sono valori di x per cui y non è unico?
Per quanto riguarda la prima domanda
notiamo che per ogni valore che x assume y esiste.
Inoltre qualsiasi sia il valore che la x assume
esso sarà sempre un numero reale solo se andiamo a sostituire un numero reale.
Quindi non ci sono valori di x per cui y non è unico.
Le 3 domande ci permettono di ottenere che
la funzione sarà sempre calcolabile,
qualunque valore di x si scelga,
con un numero finito di operazioni,
si ottiene sempre il valore della y corrispondente
che non solo esiste, ma sarà unico e reale.
Il campo di esistenza della funzione
è l' insieme dei numeri reali,
quest'ultima è una regola generale per tutte le funzioni razionali intere.
esse sono sempre definite nell'insieme dei numeri reali.
Ci sono 3 metodi simbolici
per rappresentare il campo di esistenza:
C.E (abbreviazione di campo di esistenza) possiamo indicarlo
o come insieme dei numeri reali
oppure mediante le parentesi tonde (-∞,+∞)
o, infine, con le parentesi quadre aperte [-∞,+∞ ]
(ricordiamo, attraverso le parentesi quadre il valore espresso non appartiene all'insieme).
Il campo di esistenza è una funzione razionale intera
e l'insieme di tutti i punti della retta.
Analizziamo una funzione più complessa
sempre razionale intera
ma espressa attraverso un polinomio di secondo grado.
Dobbiamo porci sempre le 3 domande,
avevamo già dedotto una regola generale
ovvero che tutte le funzioni razionali intere hanno come campo di esistenza l'insieme dei numeri reali.
Possiamo applicare la regola anche a questa funzione
perché qualsiasi esso sia il valore che diamo ad x
la y corrispondente esiste, è unica ed assume un valore reale.
Quindi il campo di esistenza è l'insieme è l'insieme dei numeri reali
che possiamo esprimere in simboli, come in precedenza.
Passiamo alla funzione razionale fratta
espressa come rapporto o di una costante fratto un polinomio
(al numeratore una costante e al denominatore un polinomio di primo grado o di grado superiore),
o come rapporto tra due polinomi
(al numeratore e al denominatore avremo polinomi differenti).
Nell'individuare il campo di esistenza, possiamo incorrere in qualche problema
poiché x si trova al denominatore.
Partiamo da un caso pratico
sostituiamo alla x dei valori ed eseguiamo delle divisioni.
Vediamo quando non è possibile dividere un numero per un altro:
se dividiamo due numeri uguali, ad esempio 5 diviso 5
la divisione è possibile e la soluzione è 1, ugualmente se faccio 1 diviso 1.
Se divido 0 per 1, la soluzione esiste ed è unica, ovvero 0.
Se faccio 1 diviso 0 non ho soluzione perché non è possibile effettuare questa divisione
come anche per 0 diviso 0.
Da ciò si deduce che
ponendo il valore 0 al posto della x non otterrò alcun risultato per la y.
Il campo di esistenza della funzione non ammette
come valore x = 0
e quindi il campo di esistenza di questa funzione
sarà l'insieme dei numeri reali R meno il valore 0.
Graficamente si può rappresentare come l'insieme di tutti i punti della retta esclusa il punto 0.
In simboli possiamo indicarlo o come x appartenente ad R tali che x è diverso da 0 {x ∈ R : x ≠ 0}
o attraverso gli intervalli con l'unione tra
l'intervallo ]−∞,0[ (parentesi aperte per indicare che i valori non sono inclusi)
unito con l'altro intervallo ]0, +∞[.
Vediamo un esempio di funzione razionale fratta più complessa.
Prima avevamo una costante al numeratore e un polinomio al denominatore,
in questo secondo esempio abbiamo un rapporto tra polinomi,
al numeratore abbiamo un polinomio di secondo grado
e al denominatore un polinomio di primo grado.
Dall'esempio precedente abbiamo capito che quando abbiamo delle funzioni razionali fratte,
per trovare il campo di esistenza e risolverle, dobbiamo imporre come condizione
che il denominatore sia diverso da zero.
In questo caso imponiamo che 2x+1 sia diverso da 0
e dobbiamo vedere quando è uguale a zero per poter escludere il valore di x = 0.
Si vede che 2x + 1 è uguale a 0
quando si porta la costante a destra e si isola 2x
e si avrà 2x = -1.
Dividendo ambo i membri per 2 otteniamo x = a 1\2
Dunque il campo di esistenza della funzione
sarà costituito dall'insieme di tutti i punti reali diversi da - 1/2.
Quindi possiamo indicarlo o come l'insieme delle x appartenenti a R
tali che x sia diverso da - 1/2 {x ∈ R : x ≠ 1/2}
o come l'unione dei 2 intervalli ]−∞,-1/2[ U ]-1/2, +∞[.
A conclusione della prima parte abbiamo visto come si determina il campo di esistenza
di una funzione razionale intera e razionale fratta,
come si esprime in simboli,
l'eventuale regola generale che lo caratterizza
e, infine, come individuarlo dal punto di vista della retta.