Introduciamo ora le proprietà di limitatezza dei numeri reali.
Dato un insieme di numeri reali
è possibile definirvi al suo interno un elemento chiamato "massimo".
Il massimo di un insieme di numeri reali
è un numero M appartenente all'insieme A che ha la proprietà di essere maggiore o uguale di qualsiasi altro elemento dell'insieme.
Un massimo, per essere tale, non solo deve appartenere all'insieme rispetto al quale lo calcoliamo,
ma deve essere maggiore di tutti gli altri elementi.
Analogamente possiamo definire il minimo m di un sottoinsieme di numeri reali A
come quel numero sempre appartenente all'insieme A
che è minore od uguale di tutti gli altri elementi dell'insieme.
La proprietà importante da tenere a mente
è che gli elementi appartengano all'insieme A.
Tendo a sottolineare questo perché vedremo che esiste una nozione simile
al massimo e al minimo dove però gli elementi non appartengono all'insieme.
Ciò che possiamo osservare è che non tutti gli insiemi dei numeri reali hanno il massimo ed il minimo.
Se per esempio consideriamo un sottoinsieme A dei numeri reali costituito da tutti i numeri reali positivi,
A non avrà massimo dato che possiamo sempre trovare un elemento più grande di tutti quanti gli altri,
e non avrà nemmeno un minimo
poiché stiamo considerando l'insieme di tutti i numeri reali positivi e dunque stiamo escludendo lo zero
(lo zero non può essere un minimo in quanto non appartiene all'insieme A).
Non tutti gli insiemi hanno il massimo e il minimo, però si verifica che quando esistono, essi sono unici.
Come avevo già anticipato, possiamo introdurre una nozione simile
ma concettualmente differente dalla nozione di massimo e minimo,
la nozione di maggiorante e di minorante.
Se consideriamo sempre un sottoinsieme di numeri reali
si dice maggiorante di un insieme A
un elemento che risulta essere maggiore o uguale di ogni elemento del sottoinsieme.
La differenza sta nel fatto che per il maggiorante non è necessario che l'elemento L appartenga ad A
mentre è necessario che l'elemento M massimo appartenga all'insieme.
Analogamente come il minimo deve appartenere all'insieme e avere la proprietà di essere minore o uguale di ogni altro elemento dell'insieme stesso,
perché l sia un minorante di A è necessario solamente che sia minore o uguale di tutti gli elementi dell'insieme
ma non che appartenga all'insieme A.
E' bene notare che non è detto che un insieme ammetta sempre maggioranti o minoranti.
Se consideriamo l'esempio dell'insieme dei numeri reali positivi A
avevamo già notato che era sprovvisto di massimo e minimo,
ma allo stesso modo non prevede alcun maggiorante
perché non esiste un elemento che sia più grande di tutti gli elementi dell'insieme.
Questa volta, però, pur non avendo minimo, possiede un minorante
ovvero lo zero poiché lo zero stesso è minore di tutti gli elementi dell'insieme A,
ma non appartiene all'insieme, quindi non può essere minimo.
Lo zero è dunque un minorante di A.
La nozione di minorante e maggiorante ci permette di introdurre la nozione di limitatezza di un insieme.
Se un insieme ammette un maggiorante, si dice che A è limitato superiormente.
Se ammette un minorante, si dice che A è limitato inferiormente.
Un insieme si dice limitato quando è limitato sia dal basso che dall'alto, ovvero sia superiormente che inferiormente.
Possiamo fornire una nozione che in qualche modo leghi il maggiorante con il minimo
e i minoranti con il massimo.
Si dimostra che esiste, considerato un sottoinsieme non vuoto di numeri reali
limitato superiormente,
il minimo dei maggioranti.
L'esistenza del minimo e del maggiorante permette di introdurre un'altra definizione
che permette di dare un nome a questo minimo dei maggioranti
chiamato "estremo superiore" o anche "sup" abbreviato.
Chiamiamo S il nostro estremo superiore di A, questo sup gode di due proprietà:
la prima è che esso è un maggiorante, quindi maggiore o uguale di tutti gli elementi dell'insieme A;
la seconda è che è un minimo dei maggioranti.
Considerato un elemento più piccolo
indicato con il simbolo S meno epsylon (S-ε) dove epsylon è una quantità molto piccola,
un numero di molto poco più piccolo rispetto ad S,
se ci allontaniamo verso il basso da S anche se di pochissimo,
non risulta più essere un maggiorante per l'insieme A,
S meno epsylon (S-ε) non è più maggiorante, ma minore di a.
Similmente è dimostrato che ogni insieme non vuoto limitato inferiormente
ammette il massimo dei minoranti, chiamato "estremo inferiore" indicato con il numero i.
Anche l'estremo inferiore è dotato di due proprietà:
è minorante, cioè minore o uguale di a, ma massimo tra i minoranti.
Quando prendiamo un numero di poco maggiore rispetto al numero i
esso non è più minorante, non minora gli elementi di a,
per cui i più epsylon (i + ε) risulta essere maggiore di a e quindi non più minorante.
Se un insieme è limitato superiormente esiste l'estremo superiore ed è un numero reale;
se un insieme è limitato inferiormente esiste l'estremo inferiore ed è anch'esso un numero reale.
Quando un insieme non è limitato né inferiormente né superiormente
si parla di insieme non limitato.
Per esprimere un insieme non limitato né dal basso né dall'alto
vengono utilizzati due simboli: più infinito +∞ e meno infinito -∞.
Precisamente, considerato un insieme A non vuoto,
se l'insieme A non è limitato superiormente, diremo che il sup di A è uguale a più infinito +∞,
ovvero scelto un numero reale troveremo sempre un elemento dell'insieme A più grande di esso;
se invece l'insieme A non è limitato inferiormente,
diremo che l'inf di A è uguale a meno infinito -∞,
ovvero scelto un numero reale troveremo sempre un elemento di A che sia più piccolo dell'elemento l selezionato.
Nell'utilizzare questi simboli potremmo anche omettere di dire
l'insieme A non esista. Dicendo che il sup di A è uguale a +∞ e l'inf è uguale a -∞
è come se specificassimo, anche nel caso non limitato,
che il sup può essere uguale a qualcosa e l'inf può essere uguale a qualcos'altro.
Quello che possiamo dire è che
se l'insieme è limitato superiormente allora l'estremo superiore è finito;
se l'insieme è limitato inferiormente allora l'estremo inferiore è finito.
Se invece non sono limitati né inferiormente, né superiormente allora sup e inf possono essere uguali a +∞
e possiamo dire che in ogni caso esistono sup e inf.
Se c'è limitazione, allora sono numeri finiti;
se non c'è limitazione sono quantità infinite.
Ad esempio possiamo considerare l'insieme A costituito dai numeri reali maggiori di zero,
allora questo non avrà limiti superiori dato che possiamo prendere in esame numeri sempre più grandi, quindi il sup di A è uguale a più infinito;
l'inf di A è uguale invece a 0 perché 0 è più piccolo di tutti i numeri reali di questo insieme.
Non hanno massimo e minimo
perché lo zero non è un minimo, non appartiene all'insieme dato che x deve essere strettamente maggiore di zero.
Possiamo anche prendere in esame B come l'insieme di (n-1) fratto n.
Tutte le quantità prese in esame si trovano prima dell'1,
più piccole dell'1,
il quale risulterà essere un sup che non potrà essere però massimo perché non appartenente all'insieme B.
Mentre l'inf risulta essere 0
perché più piccolo di tutti quanti gli elementi
n-1, ovvero di tutte le frazioni eseguite in questo modo.
Zero è però anche un minimo perché appartenente all'insieme
per n=1 otteniamo zero su uno che è uguale a zero.
Alla luce delle proprietà introdotte seguono delle proprietà relative all'insieme dei numeri naturali.
Prima di tutto possiamo dire che l'insieme N gode di due proprietà caratteristiche:
1. Ogni sottoinsieme non vuoto di N è dotato di un minimo;
2. Ogni sottoinisieme non vuoto di N, superiormente limitato, è dotato di massimo.
Tenendo conto di queste due cose si può introdurre la proprietà di Archimede,
la quale afferma che l'insieme N dei numeri naturali non è limitato superiormente.
Preso un numero reale x, esiste sempre un numero naturale n
più grande di questo numero reale, quindi non è limitato superiormente.
Questa proprietà è importante perché dimostra la già citata proprietà di densità dell'insieme Q in R.