quelle che sono le relazioni in generale
egli rappresenta
la nostra attenzione
che sono importanti
perché andranno a caratterizzare degli insiemi
fondamentali
nella
andiamo a considerare quella che è la relazione
la relazione binaria è un particolare tipo di relax
dato un insieme a
sempre
considerare una relazione tra
quindi non vado a considerare più
un secondo insieme
considera l'insieme A
allora chiameremo
defibrillazione
una relazione da aprire con grafico
il più banale esempio di rapprese
relazione eBay
la relazione identica è quella definita da sera e per
grafico
la diagonale Office
del primo e terzo quadrante del Piano
in pratica se io vado
il piano cartesiano dove sto
sopra ci sono gli elementi di a sull'asse delle i
e sull'asse delle X
la relazione identica è quella rappresentata
dalla bisettrice del primo e terzo quadrante
il primo elemento esattamente i denti
la relazione binaria è una relazione che può godere
timo proprietà
foto temporanea
tutto possiamo definire una proprietà riflessiva cioè che ogni elemento dell'insieme
qualunque esso sia
in relazione
abbiamo una proprietà antiriflessi
vasche per ogni elemento dell'insieme
non è in relazione con questo simbolo va indicare in un
non essere in relax
poi abbiamo
una proprietà simmetrica cioè che se a è in relazione con un elemento A primo
pubblica che è in relazione con a
qualunque siano
gli elementi
abbiamo poi una relazione di antisymmetry
presi due qualunque elementi
artemisia
se è in relazione con a primo questo mi
il primo non è in relazione con
abbiamo una proprietà
metrica
cioè che sia in relazione con la prima
allora a è uguale ad aprile
questa relazione di
assonometria è una relazione che incontreremo
più volte nel corso degli
e questo vale per ogni elemento appartenente alle liti
qualunquemente
un'altra proprietà che forse già nota
la proprietà
dati i tre elementi qualunque appartenenti all'insieme che io ho denotato con
e attento
in relazione con la prima
prima volta in relazione con altezza
questo implica che
relazione con latte
queste sono le proprietà fondamentali della relazione
a seconda di quale tipo di proprietà valgono
interno di un insieme
possiamo dire le cose importanti
potrei essere lì
andiamo dare degli esempi
la proprietà
andiamo a considerare una relazione che è quella lì
maggiore o uguale a
c'è quella che indichiamo Generalmente con il simbolo la freccetta verso destra
allora considerare il campo dei numeri reali
allora il campo dei numeri reali
ogni elemento
maggiore o uguale
questo è ovvio Perché in realtà c'è proprio l'uguaglianza 4 sarà uguale a 4
numero reale
ma non è errato
posso scrivere tranquillamente ed è comunque vera come
4 è maggiore o uguale
d4
la relazione
la relazione maggiore o uguale
gode della proprietà riflessiva
un'altra proposizione Un'altra relazione che nel campo dei numeri reali gode della proprietà riflessiva
numero reale sappiamo bene essere divisi
2
divisibile per 2
aspetto questa Fra
introdurre quella che è una relazione molto forte
relazione di equivalenza
andiamo a dare una definizione
una relazione binaria
relazione di equivalenza
riflessiva
che vuol dire che ogni elemento è in relazione con se
simmetrica c'è
che siano in relazione con la I
apri in relazione con qualunque sia
gli elementi
aprilia
la gode della proprietà transitiva
dati tre elementi
ha segnato
sia in relazione con la prima
e apri in relazione con assegno
questo mi sa
quindi una sorta di catena
in una relazione di equivalenza R se un elemento in relazione con un altro quindi
reazione con la I
si scrive
questo segno queste tripla Ninetta
a primo modulo RT legge
con questo segno qua si legge congruo
primo modulo R
sono relazioni di equivalenza banalmente
la relazione identica
insieme per sesso
e la relazione totale
ovviamente andiamo a vedere perché la relazione elettrica abbiamo detto che due elementi
ovviamente la proprietà riflessiva e banalmente su
e anche soddisfatta visto che hai relazione con la prima
uguale a prima
la relazione simmetrica perché è uguale al primo equivale a dire
pesci nella relazione transitiva
se a è uguale a b
È uguale ovviamente
mente la relazione identica mi soddisfa le proprietà
di cui deve godere una relazione per essere chiamata di equivalenza quindi possiamo sicuramente affermare
che la relazione identica è la relazione di equivalenza degli insiemi
andiamo a definire ora concetto particolare quello di classe di equivalenza
consideriamo una relazione di equivalenza R in un insieme a
consideriamo un elemento appartenenti all'isis
definiamo classe di equivalenza
via dell'elemento acqua
modulo R
questo insieme che definiremo così che scriveremo in questo modo fra parentesi
l'insieme costituito dagli elementi A primo via
sono in relazione con a
qui
rileggendo il sottoinsieme di a costituito dagli elementi di a in relazione
elemento a piccolo
osserviamo banalmente
che l'elemento stesso appartiene alla sua classe di equivalenza
e questo odio per le proprietà riflessiva della relazione di equivalenza
perché abbiamo detto che la proprietà riflessiva
si dice che ogni elemento
È in relazione con se
equivalente
elemento appartiene alla propria classe
qui considerata la relazione di equivalenza R
l'insieme delle classi di equivalenza modulo R
lo consideriamo come
qR Dov'è la relazione
punto di equivalenza che stiamo considerando
l'insieme costituito da tutte le classi
air
elemento di
insieme prende il nome di insieme quoziente
per le classi di equivalenza valgono delle proprietà importanti
ovviamente ogni classe di equivalenza
perché ogni elemento abbiamo
appartiene alla propria classe di equivalenza
dammi due classi di equivalenza che sono diverse tra loro
l'intersezione viste come insiemi
questo è vero perché abbiamo detto
una relazione in una relazione
o si avvera il fatto che ha relazione con un elemento
in relazione con un elemento
quindi
tranquillamente possiamo dire che i due insiemi sono disgiunti
infine ogni elemento dell'insieme A appartiene ad una
ci teniamo a dire ed una sola classe di equivalenza
È l'ultima proprietà
che sia ea primo sono in relazione R ovviamente
le due classi di equivalenza coincidono
questo per la proprietà transitiva di cui gode la relazione di equivalenza
perché sappiamo che prendiamo un elemento B che in relazione R
e sappiamo che a
in relazione con la I
per questa ipotesi
per la proprietà transitiva
b
relazione con il che vuol dire che appartiene alla sua classe di equivalenza
andiamo a definire
quella che è la relazione di ordine o vedremo
camera ordinata
un insieme ordinato è una coppia ar9am insieme non vuoto e r è una
che gode di proprietà
i riflessi
cioè che non è in relazione con a qualunque sia l'elemento dell'insieme
antisimmetrica caffè che sia in relazione con a I
non è
inrelazionecon a qualunque 2 elementi
io consideri l'insieme
transitiva
relazione con la I
allora è in relazione con la figlia
possiamo dare equivalentemente altre tre proprietà della relazione
per dire che insieme ordinato
qui equivalentemente a questa definiti
una relazione binaria
gode della proprietà
riflessiva simmetrica e transitiva
potremmo dire che la relazione è comunque Dior
riflessiva sempre che ogni elemento
asimmetrica vuol dire che sia in relazione con una prima ea primo in relazione con a
allora a è uguale ad aprile
la transitività
che abbiamo
una relazione d'ordine si indica Generalmente con questo simbolo il simbolo del minore
l'ordinamento qui la relazione d'ordine si dice
ogni elemento dell'insieme è confrontabile con gli altri
qui
l'insieme A con la relazione di ordine
È totalmente ordinato Se solo si
elemento anche minore uguale di aprile oppure accade che l'elemento primo è minore uguale
quindi qualunque siano i due elementi che scelgo all'interno delle
insieme ordinato ha senso dare la definizione
in particolare un elemento A
si dice il minimo
È più piccolo di ogni altro elemento dell'insieme
si dice Massimo
invece più grande di ogni altro elemento
stillitano rispettivamente con un minimo di 2 a un massimo di
piccola proposizione
esiste ed è unico
questo simbolo indica appunto in maniera sintetica la frase esiste ed è unico
una piccola dimostrazione
procediamo per Assun
per assurdo esistessero due minimi
proprio per definizione di minimo cioè che l'elemento più
piccolo che è minore
uguale a prima
ma anche se a primo è minore uguale di affetto
per la proprietà simmetrica
scusate
esattamente uguale a me
quindi partendo da un assurdo arriviamo e l'uguaglianza
necessariamente il minimo
esiste
dato un insieme ordinato S con la relazione minore
si dice che questo insieme
e ben ordinato e la relazione minore sì
se ogni
insieme di abeti
essere dotata di
un insieme ben ordinato risulta essere anche totalmente ordinato
da una parte ICS inclusa in a è un elemento a appartenente all'insieme
si dice maggiorante
minoranze PD
maggiore uguale di ogni elemento X appartenente a sottoinsieme
casalgrande
intaccato XT dice superiormente limitato
definizione se parliamo della parte inferiore mente limitato quindi andiamo a parlare del minore
guida Consob
xDA
un elemento è un maggiorante sei più grande di tutti
ma non appartiene ai
non necessariamente e vedremo
sei più piccolo di tutti
daccapo abbiamo detto che li tiene
limitato
esiste Le maggioranze
esiste il minorante e inferiormente
il più piccolo dell' insieme dei maggioranti viene chiamato estremo
superiore
mentre il più piccolo il più grande dell' insieme dei minoranti e detto estremo Inferiore
corrispettivamente con supplì
ecco qui
facebook
il più piccolo dei maggioranti
alice Mail
coincide con il Massi
analogamente
se l'estremo inferiore appartiene al sottoinsieme ICS Allora l'estremo inferiore coincide
esattamente con il mio
andiamo a dire brevemente che se XL estremo superiore
qui Se X è maggiore uguale di ogni elemento y appartenente a chi
nel caso in cui Esiste un set appartenente
z e maggiore o uguale di tutti gli y appartenente
allora deve essere necessariamente Z Maggiore di X di partenza
questo perché
È il minimo dei maggioranti
analogamente lo possiamo fare per l'estremo Inferiore
estremo inferiore definizione
È sicuramente
più piccolo di tutti gli elementi appartenenti all'insieme
nel momento in cui Esiste un Z più piccolo di te
tutti gli elementi di
allora deve essere necessariamente
piccolo del mio estremo Inferiore