delle relazioni tra insiemi
l'obiettivo della lezione sarà. Lo studio delle possibili relazioni
che possiamo andare a definire tra gli insiemi
ma anche non solo fai di sì ma anche fra i elementi
dello stesso insieme
vedremo per il momento definizione intuitiva delle relazioni tra insiemi
definizione formale di queste relazioni che
forniremo anche alcuni esempi di relazioni quelle Prix
principali
diremo come può essere rappresentata una relazione tra insiemi
andremo a definire quelle che sono le relazioni fondamentali tra insiemi
quindi
con un occhio
particolari per la relazione binaria la relazione di equivalenza e la relazione di
andiamo a dare una definizione diciamo intuitiva di quello che sono le relazioni tra gli enti
consideriamo due insiemi A e B non vuoti
assegnare una relazione tra l'insieme A è l'insieme di
equitalia legge
che ad ogni che mette in relazione ogni elemento di a
come gli elementi
in base a questa legge ad ogni elemento di a può essere associato uno o più elementi di
come definizione formale possiamo dire che i dati due insiemi A e B non vuoti
È una proposizione cosa intendiamo in matematica per proposi
una frase che può essere vera o falsa
una frase in particolare che riferita agli insiemi abbia un significato inequivocabile Quindi non si sa mai
allora diciamo che esiste una relazione tra l'insieme A
oppure diciamo una relazione di a in B
se per ogni coppia ordinata a b
con l'elemento appartenente a elemento B appartenente AB
esiste uno ed uno solo dei seguenti Patti
mediante la proposizione
non è associato mediante la
quando un elemento è appartenente all insieme a è in relazione con un elemento B
si scrive
in relazione con me. si legge a in relazione con b
la relazione e spesso anche chiamata corrispondenza
l'insieme di partenza a si chiama dominio della relazione
mentre l'insieme di arrivo diciamo
chiama codominio della relazione
diamo un esempio di quelle che ho una relazione
consideriamo l'insieme A è costituito dagli elementi
479
È l'insieme B
123
consideriamo la relazione data dalla proposizione
quadrato di
abbiamo detto che l'insieme A
chiama dominio della relazione
quindi questo insieme a sarà il dominio mentre l'insieme B
questo che adesso sto
il codominio della relazione
le coppie che soddisfano la relazione
sono le coppie ordinate 4293
ovviamente perché 4 e il quadrato di 2 e 9 il quadrato di 3
possiamo scriverle sia come coppie ordinate
ma che scrivere
4 in relazione con 29 relazione R
l'elemento B è detto immagine dell'elemento a mediante R
crea evento controimmagine di mediante R
nel precedente esempio l'insieme delle immagini è dato da
23
mentre quello delle controimmagini da 49
la nostra relazione può essere espressa abbiamo detto
anche come un insieme di coppie che soddisfano
la proposizione
cioè l'insieme
costituito dalle coppie
dove A appartiene all insieme a
appartiene all'insieme degli
in relazione con b
mettiamo che utilizziamo la
rappresentazione di prodotto cartesiano per dire che le coppie sono ordinate
il primo elemento fatina il primo insieme e il secondo elemento appartiene al secondo
appunto che le coppie che soddisfano la relazione R
un sottoinsieme del prodotto cartesiano
cioè l'insieme A è l'insieme B
consideriamo ora quindi un sottoinsieme di
prodotto cartesiano a X B
e definiamo la relazione con una coppia
prodotto cartesiano a X B
quindi vado a considerare le coppie ordinate e sottoinsieme di
grafico che la relazione R
traffico oggi
andiamo a fare dei piccoli da dare dei piccoli esempi
quelle che sono le relazioni fondamentali
consideriamo gli insiemi AEB sempre non vuoti
corrispondenza o relazione vuota
la coppia
a prodotto cartesiano b
eco mediatico consideriamo
l'insieme vuoto
che esprime di fatto questa relazione
che non è in relazione con b
qualunque sia l'elemento a appartiene all'insieme a
l'elemento A appartiene all'insieme B
io invece sempre considerato due insieme
heidi
vendita moto
corrispondenza totale
la coppia
costituita da
prodotto cartesiano a X B
prodotto cartesiano a X B quindi il grafico della relazione è esattamente tutto è più
piano cartesiano
questa corrispondenza esprime che ogni elemento di a è in relazione con ogni
praticamente tutte le coppie ordinate mi soddisfano la relazione
andiamo andare un'altra definizione E questo sarà importante perché spesso molto utilizzate
la relazione identica ho anche chiamata identità
la relazione identica
e data dal prodotto cartesiano dell'insieme A un vuoto
stavolta
con questo Delta dia
andiamo ad indicare la diagonale del primo e del terzo quadrante
piano cartesiano
cosa dire In pratica che nel piano cartesiano io vado a considerare la bisettrice del primo e del
terzo quadrante
lo considero x 7
allora la relazione identica mi dice che
due elementi di a
xY
sono in relazione tecnica
utile possiamo andare a definire una relazione indotta
qui vado a considerare due elementi
due insiemi AEB
diversi dalle foto sempre
È una data relazione R
prodotto cartesiano
a questo punto per andare a definire una relazione indotta vado a considerare tutti insieme
a primo incluso incluso in B
ale ciclismo
l'intersezione del prodotto cartesiano di a primo B primo
sottoinsieme del prodotto cartesiano a per B
chiameremo corrispondenza
indotta la relazione R prima
che definita per prodotto cartesiano a primo per vetri
relazione così definita
se io prendo due elementi
appartenente all'insieme aprile
apri è in relazione
prima dell'azione RTV primo
apri apri in relazione con me
perché l'induzione Perché due elementi sono in relazione R primo
solo se sono in relazione R
quindi è come se si trasportasse
dell'insieme più grande
piccolo
abbiamo anche la possibilità di definire quella terra e la relazione inversa
il concetto di relazione è particolarmente importante
perché ci riporterà
al concetto di funzione è alla base del concetto di funzione
È importante assorbirne tutte le proprietà e comprendere a fondo
la relazione R definita negli insiemi
prodotto cartesiano a X B sempre al bingo
iconografico
dicesi prelazione inversa di questa relazione R la relazione R almeno 1 kg
definita nel prodotto cartesiano
vipera
grafico gm1
dove per gm1
intendiamo le coppie ordinate
la coppia ordinata
ovviamente valgono le seguenti relazioni
la relazione inversa di una relazione inversa e la relazione di partenza R
inversa dell'identità ovviamente è l'identità
per quello che riguarda la relazione totale la relazione vuota
l'inversa della relazione totale è ancora la relazione totale e ovviamente per definizione la po'
la relazione totale ammetteva
corrispondenza ogni elemento di raccordo un elemento di B
mentre la relazione vuota Non metteva alcun elemento di a
in corrispondenza con alcuni elementi
questo vuol dire che anche nel caso della relazione causa della corrispondenza avuta l'inversa strada
uguale alla relazione
quali sono i possibili modi per rappresentare graficamente
una relazione
dobbiamo fare
una relazione può essere rappresentata per il link
più o meno come si rappresenta
la relazione R può essere rappresentata come
l'insieme delle coppie ordinate che soddisfano appunto la proposi
proposizione
qui
a B C D E F ordinate
dov'è il primo coefficiente appartiene al dominio
un secondo tipo di rappresentazione è quella
si chiama sagittale un diagramma a frecce
mostriamo questa rappresentazione mediante un esempio
consideriamo gli insiemi
uguale a479
È costituito dagli elementi
li rappresentiamo graficamente come due cessi
in cui andiamo a considerare gli elementi
se consideriamo sempre la relazione definita come è il quadrato di
È ovvio che li diremo Con delle frecce
come potete vedere
il primo
infatti Ad esempio la prima freccia
4 è il quadrato di 2 Analogamente nella seconda
rappresentare la relazione su un piano cartesiano con un diagramma cartesiano
sull'asse delle xe indichiamo gli elementi del dominio a e sull'asse delle
km indicheremo gli elementi del codominio B
potremmo sempre questa rappresentazione con l'esempio precedente
consideriamo
46
costituito dagli elementi 12
consideriamo definita la proposizione è il quadrato di
allora
sull'asse delle xe riporteremo gli elementi 479
e sull'asse delle y
gli elementi
ovviamente andremo a definire sul piano cartesiano
quelle coppie che mi soddisfano la relazione R cioè il quadrato di
in questo caso lo indicheremo con un pugno
piano cartesiano
42
perché 4 e il quadrato di
l'ultima rappresentazione è quella a tabella a doppia entrata
praticamente sulla prima riga andiamo a definire gli elementi di
qui
due e tre andiamo a fare sempre con l'esempio dove gli insiemi a
costituito dagli elementi 479
sulla prima colonna andiamo a definire quelli che sono gli elementi dell'insieme A
apporre una X
nell'incrocio delle due della colonna e della grigia
che mi soddisfa
la relazione r e il quadrato di
in questo caso
vorremmo qui un bel c**** perché 4 e il quadrato di 2 e analogamente
nell'ultima colonna ultima riga andremo a mettere una ICS perché 9 e il quadrato di