Passiamo alle funzioni trascendenti
in particolare tratteremo delle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Ricordiamo che la funzione esponenziale è definita per ogni valore di x appartenente ad R.
Consideriamo la funzione y = e elevato a x al quadrato meno 1:
poiché la funzione esponenziale è definita per ogni x in R,
non c'è nessuna condizione da imporre all'esponente
perchè qualsiasi valore di x scegliamo
il valore corrispondente di y esiste, è unico ed è un numero reale.
Quindi il campo di esistenza della funzione sarà dato da tutte le x appartenenti a R.
Passiamo ad una funzione sempre esponenziale ma con esponente fratto.
Per la funzione esponenziale non dobbiamo imporre condizioni
poiché è sempre definita per ogni x in R
ma, in questo caso, poiché l'esponente è una funzione fratta
abbiamo una quantità che contiene x al denominatore
per cui dobbiamo imporre che questa sia diversa da 0.
Verifichiamo dove il denominatore si annullla
ed escludiamo quei valori dal campo di esistenza.
x+1 sarà uguale a 0 quando x = -1.
Questo significa che il campo di esistenza
sarà costituito da tutte le x appartenenti ad R
tali che x sia minore di 1
o, analogamente, come l'insieme di tutti i valori che vanno
da meno infinito a meno 1 unito meno 1 più infinito.
Passiamo alle funzioni logaritmiche
e consideriamo la funzione y = logaritmo di x al quadrato meno 2x.
Come argomento del logaritmo abbiamo un polinomio di secondo grado.
Ricordiamo che la funzione logaritmica è definita quando
l'argomento è maggiore strettamente di 0
per cui bisogna imporre che il suo argomento,
nella fattispecie x al quadrato meno 2x,
sia maggiore strettamente di 0.
Per risolvere questa equazione di secondo grado
consideriamo l'equazione di secondo grado associata
e calcoliamo il delta pari a 8.
Le soluzioni sono + o - radical 2
le quali dovranno essere il vincolo per determinare le soluzioni della disequazione
e, poiché ha segno positivo e il delta è positivo,
l'intervallo avrà come soluzioni
quelle esterne all'intervallo delle radici
ovvero tutte le x - radical 2
unito x maggiore di radical 2
o espresso come l'intervallo da - infinito a - radical 2
unito + radical 2 a + infinito.
Consideriamo come ultima funzione trascendente
quella logaritmica con argomento fratto.
E' necessario imporre che
l'argomento sia maggiore strettamente di 0
ma siccome è una funzione fratta
dobbiamo anche imporre che il denominatore sia diverso da 0.
Per quanto riguarda la prima disequazione,
essendo fratta,
possiamo risolverla come un rapporto di polinomi
per capire quando essi siano maggiori di 0.
Quando è possibile ciò?
Quando numeratore e denominatore sono maggiori di 0
ed entrambi devono essere negativi
(in quanto meno e meno danno come risultato più).
La prima disequazione,
essendo una somma di quantità positive,
sarà sempre positiva per ogni x appartenente a 0.
La seconda disequazione, invece, non sarà mai minore di 0
quindi non ha soluzioni.
Per poterla risolvere dobbiamo considerare l'equazione associata,
le soluzioni sono +2, -2.
Quando richiediamo che la disequazione sia positiva
le radici saranno esterne all'intervallo -2,2.
Se, invece, richiediamo che sia minore di 0
le x sono comprese.
Quindi risolvendo questo secondo sistema,
poiché stiamo facendo un'intersezione tra l'intervallo -2 e +2 con il vuoto
non avremo alcuna soluzione.
Tutto il secondo sistema non avrà soluzione.
Mentre per il primo sistema
dobbiamo intersecare l'intervallo delle radici esterne -2 e +2 con tutte le x.
quindi l'intersezione si avrà nei punti -2 e +2.
Nella seconda disequazione, invece, dobbiamo escludere -2 e 2
perché non c'è un minore uguale o maggiore uguale
In sintesi dobbiamo fare l'unione di questo con il vuoto
e si otterrà l'intervallo delle radici.
Terminiamo con le funzioni trigonometriche:
il campo di esistenza delle funzioni seno e coseno è molto semplice
in quanto esse sono definite per ogni x appartenente ad R,
mentre la tangente è formata da tutte le x appartenenti ad R meno il valore π/2,
o meglio π/2 + kπ che indica
non solo π/2 ma anche tutti i multipli di esso.