Passiamo alle funzioni più complesse, quelle irrazionali.
Innanzitutto consideriamo una funzione irrazionale intera con indice di radice pari.
Iniziamo con la funzione base
espressa dall'equazione y uguale radical x.
Bisogna porsi le consuete 3 domande:
1. ci sono valori di x per cui y non esiste?
2. ci sono valori di x per cui y non è un numero reale?
3. ci sono valori di x per cui y non è unico?
In questo caso ci sono dei valori attribuiti ad x per cui y non vale
perché la radice quadrata di un numero è sempre una quantità positiva
ovvero definita solo quando risulta positiva.
Se sostituiamo alla x un numero negativo
tutti i numeri inferiori allo 0 non saranno ammissibili
ciò comporta che non solo la y non esiste
ma non potremo porci nemmeno la domanda sulla sua unicità
e ci saranno dei valori della x per cui la y non sarà un numero reale
Si deduce che la condizione per determinare il campo di esistenza
consiste nell'imporre che il radicando sia una quantità maggiore o uguale di 0.
Perciò il campo di esistenza di questa funzione sarà
l'insieme di tutti i numeri non negativi ovvero le x maggiori o uguali di 0
E' possibile rappresentarlo come le x appartenenti ad R (numeri reali) maggiori o uguali di 0,
o con gli intervalli zero più infinito (zero incluso, più infinito escluso).
In termini più visualizzabili il campo di esistenza è
l'insieme di tutti i punti della retta che risultano essere maggiori o uguali di 0.
Questa è una regola generale che possiamo dedurre per
tutte le funzioni irrazionali con indice pari
quindi ogni volta che abbiamo una funzione di indice pari
bisogna imporre che il radicando sia maggiore o uguale di 0
il suo insieme di valori sarà sempre costituito dall'insieme dei valori che rendono il radicando positivo.
Analizziamo un altro esempio
ma in questo caso come radicando non abbiamo un polinomio di primo grado
bensì un polinomio di secondo grado.
Ricordiamo che per determinare il campo di esistenza
dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale di 0.
In questo caso dobbiamo risolvere un'equazione di secondo grado
per cui facciamo un excursus sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado.
L'equazione di secondo grado è un polinomio dove c'è una x al quadrato
e si presenta sotto forma di disequazione
per cui non abbiamo un' uguaglianza bensì un maggiore o un minore.
Nell'espressione 1 e 2
nella prima abbiamo tutti segni positivi mentre nella seconda tutti segni negativi
ma le due espressioni risultano equivalenti in quanto
cambiando i segni è possibile ricondursi al caso 1.
Nella prima espressione rendendo tutti i segni positivi cambierà anche il verso della diseguaglianza
e ci riconduciamo al primo caso.
Quindi risolviamo la disequazione del primo caso, con a positivo,
perché possiamo sempre ricondurci a questa.
Per risolvere la disequazione di secodo grado
bisogna prima risolvere la corrispondente equazione associata
e la formula per risolverla è standard.
Ovviamente essendo un' equazione di secondo grado
ammette 2 soluzioni
che si ottengono applicando questa formula_
meno B più o meno la radice di b al quadrato meno 4ac
questa quantità è chiamata il discriminante dell'equazione,
viene indicato con delta,
fratto 2 volte a.
A seconda del segno del radicando
possiamo ottenere due soluzioni distinte,
due soluzioni coincidenti, quindi unica
o nessuna soluzione.
Se il delta è positivo
l'equazione ammette due soluzioni distinte
quindi una fattorizzazione di questo tipo:
le soluzioni sono x con 1 e x con 2
quindi a che moltiplica x - x con 1 per x - x con 2
Nel caso in cui il delta è uguale a 0
l'equazione ammette un'unica soluzione che chiameremo x con 0
infatti x con 1 è uguale a x con 2,
pertanto l'equazione ammette una fattorizzazione del tipo
a che moltiplica x meno x con 0 per x meno x con 0 ovvero x meno x con 0 al quadrato.
Nel caso in cui il delta è minore di 0
l'equazione associata non ammette soluzioni.
Risolta l'equazione e determinate le eventuali soluzioni dell'equazione
possiamo risolvere la corrispondente disequazione.
L'equazione ammette due soluzioni distinte:
se vogliamo risolvere la disequazione con il segno di maggiore o uguale
le soluzioni di questa equazione saranno
le x esterne all' intervallo di valori
quindi le x più piccole di x con 1 e le x maggiori di x con 2;
con il maggiore o uguale abbiamo semplicemente l'aggiunta dell'uguaglianza.
Se invece il delta è positivo e il segno è minore
saranno le x comprese;
nel caso del minore o uguale è incluso anche l'uguale.
Se il delta è uguale a 0 e la disequazione ha segno positivo
quest'ultima sarà risolta da tutti i numeri reali tranne dalla soluzione;
con il maggiore o uguale da tutto l'insieme dei numeri reali.
Se il segno è minore non esiste soluzione;
con il minore o uguale l'unica soluzione è la funzione x = x con 0.
Nel caso in cui il delta è negativo
la soluzione associata dell'equazione non esiste.
Quindi se vogliamo risolvere una disequazione con segno positivo
essa sarà risolta per ogni x appartenente a R.
Se risulta maggiore o uguale viene risolta sempre per ogni x appartenente ad R.
Se è minore o uguale non esistono soluzioni.
A questo punto possiamo occuparci della risoluzione della disequazione in esame:
x al quadrato meno 5x + 6.
Per risolverla dobbiamo considerare l'equazione associata
e calcolare le eventuali soluzioni.
In questo caso abbiamo che b è uguale a meno 5, a è uguale a 1, c uguale a 6,
sostituendo opportunamente otteniamo che le due soluzioni sono 2 e 3.
A questo punto possiamo occuparci della risoluzione della disequazione
poiché il delta è positivo e il segno della diseguaglianza è maggiore o uguale di 0
le soluzioni saranno esterne all'intervallo delle radici
ovvero tutte le x minori o uguali di 2 e le x maggiori o uguali di 3.
Questo lo possiamo rappresentare insiemisticamente in questo modo
o con degli intervalli ovvero le x vanno da - infinito a 2
unito alle x che vanno da 3 a più infinito, con 2 e 3 inclusi.
Passiamo alle funzioni irrazionali intere con indice dispari.
Una funzione con indice dispari
non ha condizione sul radicando in quanto esso può essere
un numero negativo o positivo,
comunque venga scelta la x
il valore corrispondente y esiste ed è unico.
Se partiamo da una funzione semplice
dove abbiamo una radice terza di x
non dobbiamo imporre condizioni sulla y
poiché il campo di esistenza è l'insieme di tutti i numeri reali
Passiamo alle funzioni irrazionali fratte
distinguendo sempre quelle con indice pari e quelle di indice dispari.
Iniziamo con una funzione irrazionale di indice pari
dove al radicando abbiamo una funzione fratta
ovvero un rapporto di polinomi.
Come dimostrato precedentemente la condizione ida imporre,
essendo di indice pari,
è che il radicando sia maggiore o uguale di zero.
Però stavolta dobbiamo risolvere appunto la disequazione questa volta rapporto cioè frazione di Topolino
Quando un rapporto di quantità risulta essere maggiore o uguale di 0?
o se entrambi, numeratore e denominatore sono positivi
o quando entrambi sono negativi.
Quindi dobbiamo imporre che 2x + 5 sia maggiore o uguale di 0
e contemporaneamente che il denominatore sia maggiore strettamente di 0
perché bisogna escludere lo 0
in quanto il denominatore non può assumere valore nullo
e dobbiamo unire le soluzioni date da questa intersezione
quelle date dall'intersezione delle condizioni in cui
numeratore e denominatore sono entrambi negativi
quindi il numeratore è minore o uguale di zero
e il denominatore è minore strettamente di 0.
La prima equazione è di facile soluzione,
portiamo al secondo membro la quantità in cui non c'è la x
ottenendo x maggiore o uguale di meno 5 mezzi,
mentre per la seconda intersezione otteniamo x minore o uguale di meno 5 mzzi.
Applicando le formule precedenti a questa disequazione
per la prima disequazione troviamo le radici,
le radici dell'equazione associata sono meno 1 e 1
pertanto la soluzione sarà esterna all'intervallo delle radici
in quanto il segno della disequazione è positivo
quindi le x minore di meno 1 unite alle x maggiori di 1.
Invece nel caso in cui il segno è minore di 0
le x sono comprese nell'intervallo.
Rappresentiamo le soluzioni attraverso questo grafico:
questo rappresenta l'asse reale, abbiamo lo 0
qui mettiamo meno 5 mezzi, meno 1, 0 e 1
ovvero le soluzioni che ci interessano.
Rppresentiamo la prima: x maggiore o uguale di meno 5 mezzi
per cui tracciamo una linea continua che va da meno 5 mezzi a più infinito
per indicare l'insieme delle soluzioni della prima disequazione.
Invece per la seconda tracciamo una linea continua da meno 1 a meno infinito
che poi prosegue da 1 a più infinito.
Dobbiamo osservare dove si verifica l'intersezione delle due linee
ovvero i tratti del grafico in cui si trovano entrambe le linee, rossa e verde.
Anche se qui non si vede perché stata coperta,
la linea rossa e quella verde sono comuni da meno 5 mezzi a meno 1
quindi sarà l'insieme di soluzioni di questa intersezione,
così come sono comuni il tratto che va da uno a più infinito.
L'insieme di soluzioni della prima intersezione del primo sistema
sarà data dall'insieme delle soluzioni che vanno da meno 5 mezzi a meno 1
unito all'insieme delle soluzioni che vanno da 1 a più infinito.
Invece se rappresentiamo,
su un altro grafico l'insieme di queste soluzioni,
esse saranno le x minori di meno 5 mezzi e le x comprese tra meno 1 e 1
e vediamo che la linea rossa e verde non hanno punti in comune
per cui questo sistema avrà soluzione vuota
Infine bisogna unire le soluzioni del primo sistema con quelle del secondo sistema
ottenendo come risultato,
poiché il secondo sistema è vuoto,
l'insieme di soluzioni del primo sistema.
Passiamo ad una funzione irrazionale fratta con indice dispari
per la quale, essendo il radicando una funzione fratta, non c'è condizione da imporre
eccetto quella che il denominatore diverso da 0.
Dobbiamo imporre che x al quadrato meno 9 sia diverso da 0
ovvero x al quadrato diverso da 9,
vediamo i valori per i quali si annulla e li escludiamo.
Estraendo la radice a destra e a sinistra otteniamo
la radice di x al quadrato uguale alla radice di 9 e,
come osservato precedentemente in merito al valore assoluto,
la radice di x al quadrato è uguale al modulo di x
mentre la radice di 9 è 3
per cui x è uguale a + o - 3.
Il campo di esistenza sarà costituito dall'insieme dei numeri reali esclusi i valori meno 3 e 3.
Si può rappresentare come intervalli meno infinito -meno 3 escluso
unito meno 3 e 3 (con meno 3 e 3 esclusi),
unito 3 più infinito con più 3 escluso.
In questa seconda parte abbiamo analizzato le funzioni:
razionali intere di indice pari e dispari,
irrazionali fratte con indice pari e dispari,
abbiamo determinato il campo di esistenza
e le eventuali regole generali
e le abbiamo anche rappresentate sulla retta.