Introduciamo le funzioni trascendenti trigonometriche
per le quali è necessaria un'unità di misura diversa da quella che viene in genere utilizzata per misurare gli angoli.
Solitamente gli angoli vengono misurati in gradi,
ma può essere utilizzata un'ulteriore unità di misura per calcolare gli angoli, ovvero quella in radianti.
Supponiamo di avere l'angolo alfa espresso in gradi:
la sua espressione in radianti
è data dalla lunghezza dell'arco di circonferenza
di raggio 1 e centro nel vertice dell'angolo
intercettato dalle due semirette A e B, che individuano l'angolo stesso.
In figura il radiante è dato dalla lunghezza l
dell'arco di circonferenza.
Se un angolo piatto si misura in 180 gradi,
il radiante sarà uguale a π
che a sua volta corrisponde alla lunghezza di una semicirconferenza unitaria,
ovvero di raggio unitario.
L'angolo retto di 90°corrisponde a π mezzi radianti.
L'angolo giro di 360°corrisponde a 2π radianti.
Analogamente a come facciamo sull'ascissa
dove si fissa l'origine e un verso e poi si calcola l'unità di misura
e le varie misurazioni,
così accade per la circonferenza unitaria
dove si fissa un verso di percorrenza, in genere antiorario,
e si considerano in modo naturale gli angoli maggiori o minori dell'angolo x.
L'angolo x corrisponderà geometricamente all'angolo x + 2π;
partendo da 2π, che è uguale alla lunghezza della circonferenza,
x corrisponderà geometricamente all'angolo che torna su se stesso,
quindi x + 2π è uguale a x + 4π,
che in generale è uguale a x + 4kπ,
dove k può essere un qualsiasi numero intero.
Se consideriamo una circonferenza goniometrica,
di raggio unitario,
le funzioni seno e coseno si definiscono come l'ascissa e l'ordinata del punto che si trova
sulla circonferenza di centro o d'origine e raggio 1
che sottende un angolo orientato di lunghezza x in radianti,
a partire dall'asse delle ascisse.
Prendiamo il punto c',
consideriamo l'ascissa e l'ordinata di questo punto,
quello indicato è il coseno dell'angolo,
il seno di alfa, invece, è l'ordinata di quest'altro punto.
La tangente, quindi, si esprime come il rapporto tra il seno e il coseno.
In particolare abbiamo che la funzione seno, il cui grafico è chiamato sinusoide,
avrà come dominio tutto l'insieme R,
e come valori quelli compresi unicamente tra meno 1 e 1.
Il seno di x, quindi, non può essere mai maggiore di 1, né minore di meno 1.
Questa è una funzione che risulta essere, come si vede anche in figura, crescente
in ogni intervallo meno π mezzi, più π mezzi
Questa, però, essendo una funzione periodica di periodo 2π,
il valore che il seno assume ad x sarà uguale al valore che il seno assume in x + 2π,
quindi la funzione sarà crescente in questo intervallo
ma in tutti gli intervalli di questo tipo che si ripetono
per cui si mette questa periodicità di 2kπ.
Analogamente risulta essere decrescente, come si vede sempre in figura,
nell'intervallo π mezzi, 3 mezzi π, e lo sarà ogni 2kπ.
Inoltre è una funzione che risulta essere dispari
infatti il seno di meno x è uguale a meno il seno di x,
è superiormente limitata perché il valore massimo che può assumere è 1
e lo assume in corrispondenza di πmezzi,
il valore minimo che può assumere, per ogni periodicità, è meno 1
e lo assume in corrispondenza del valore meno πmezzi e in tutti i valori meno πmezzi meno 2kπ.
Analogamente la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2π,
e il suo grafico è chiamato cosinusoide.
Anch'essa è una funzione definita per ogni x appartenente ad R
ma che ha come codominio l'intervallo meno 1,1,
quindi sarà anch'essa superiormente e inferiormente limitata
rispettivamente da 1, -1,
solamente che il valore 1 viene assunto in 0
e in tutti i valori del tipo 2kπ, con k che è un intero qualsiasi,
mentre il valore minimo che può assumere è -1
e, come si evince dalla figura,
lo assume in corrispondenza dei valori π e in tutte le sue periodicità.
Sarà crescente nell'intervallo -π,0 e in tutte le sue periodicità,
e poi da 0 a π.
Una relazione fondamentale che lega seno e coseno è la seguente:
il seno al quadrato più il coseno al quadrato è uguale a 1.
Infine abbiamo la funzione tangente che si esprime come il rapporto tra seno e coseno
ed ha come dominio tutti i valori dell'insieme R tranne il valore π mezzi
perché, questo lo vedremo dopo, nella tavola dei valori assunti dal seno e dal coseno
la tangente si definisce come seno e coseno quindi non ha senso quando il coseno assume un valore nullo
e il valore nullo assunto al coseno è in corrispondenza dell'angolo πmezzi.
Questa risulta essere sempre crescente,
è una funziona dispari
diversamente dalla funzione seno che risulta essere pari
e dunque simmetrica rispetto all'asse y.
Questa funzione, invece, è sempre periodica ma di π,
quindi vediamo che ad ogni intervallo π, la funzione si ripete.
E' illimitata superiormente e inferiormente,
infatti il sup è più ∞, l'inf è meno ∞.
Questa è la tabella dei maggiori angoli noti:
vediamo che in 0,
poiché rappresenta l'ordinata dell'angolo,
quando l'angolo 0 anche l'ordinata risulta essere uguale a 0.
Invece, quando l'angolo cresce ad esempio è di 30 gradi
il valore risulta essere uguale a un mezzo.
Se è di 45 gradi, seno e coseno ovvero l'ascissa e l'ordinata dell'angolo
sono uguali a radical 2 mezzi.
Quando l'angolo è di 60 gradi
otteniamo l'ordinata è pari a radical 3 mezzi
e quindi il seno è uguale a 3 mezzi,
mentre l'ascissa ovvero il coseno è uguale a un mezzo.
Dal rapporto di questi angoli si ottiene la tangente.
Con l'angolo di 90 gradi
il seno assume il valore massimo che è 1
laddove invece il coseno risulta essere uguale a 0.
In merito al campo di esistenza
il seno e il coseno di una qualsiasi funzione
sono definite per ogni x appartenente ad R,
quindi non ci sono condizioni da imporre. Per quanto riguarda la tangente bisogna imporre che sia diversa dall'angolo π mezzi e da tutti i suo angoli multipli.
Quindi se abbiamo una funzione di questo tipo
dobbiamo imporre che 2x - 3 sia diverso da π mezzi + kπ.