In riferimento alla classificazione già fatta tra funzioni algebriche e trascendenti,
parleremo adesso di funzioni trascendenti.
Quest'ultime sono tutte quelle funzioni che non sono esprimibili solamente attraverso le operazioni fondamentali dell'aritmetica.
Esempi di funzioni trascendenti sono le funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, logaritmo esponenziale.
Iniziamo a introdurre una di queste funzioni che è la funzione esponenziale a di x,
di base a e di esponente x.
Questa è definita quando la base a è maggiore strettamente di 0
e diversa da 1
Distinguiamo due casi:
se la base a è maggiore di 1
la funzione ha come dominio tutto l'insieme R
ed è una funzione che assume solo valori positivi,
è strettamente crescente, non è limitata superiormente quindi il suo sup è = +
ed è limitata inferiormente ed ha come estremo inferiore 0
ma non ha un minimo.
La funzione esponenziale però con base a compresa tra 0 e 1
è sempre una funzione che ha come dominio tutto R
quindi la possiamo definire come ogni x appartenente ad R
ed è una funzione sempre positiva, quindi la caratteristica delle funzioni esponenziali
è che non possono mai assumere valore negativo.
Diversamente, però, dalla funzione esponenziale con base maggiore di 1,
la funzione è strettamente decrescente
come si vede dal grafico
è illimitata superiormente, infatti il sup è =+ ∞
ed è limitata inferiormente però non ha minimo,
e il suo estremo inferiore è 0.
Abbiamo detto che proprio nella definizione andiamo ad escludere 1
questo perché se a è uguale a 1 abbiamo una funzione costante, 1 elevato a qualsiasi numero sarà sempre uguale a 1.
Possiamo distinguere altri casi particolari:
se la base della funzione esponenziale
è uguale al numero di Nepero
abbiamo la funzione f(x) = x.
Questa è una funzione strettamente crescente
infatti il numero di Nepero, ricordiamo, è una quantità maggiore di 1.
Se invece a = 1, come abbiamo già detto,
la funzione risulta essere costante e quindi non invertibile.
Supponiamo di avere una funzione esponenziale e di volerne calcolare il dominio.
Qual è la condizione da imporre sulla funzione per calcolare il dominio?
Non dobbiamo imporre alcuna condizione
perché il dominio della funzione è proprio tutto l'insieme dei numeri reali.
Quindi se abbiamo una funzione del tipo f(x) = e elevato a x - 1
non c'è alcuna condizione da imporre,
la funzione quindi è definita per ogni x appartenente ad R.
Se, ad esempio, avessimo avuto uno fratto e elevato a x - 1
avremmo dovuto richiedere che il denominatore fosse diverso da 0
Abbiamo detto che la funzione a(x)
risulta essere una funzione che è strettamente monotona,
strettamente crescente nel caso A maggiore di 1
e strettamente decrescente, invece, se compreso tra 0 e 1.
Quello che interessa è che sia strettamente monotona
perché significa che possiamo invertirla nel suo insieme di arrivo.
Poiché l'insieme di arrivo è la semiretta positiva dell'asse y,
la sua funzione inversa sarà proprio definita sui numeri reali positivi
e si chiama funzione logaritmo di base a e argomento x.
Poiché l'esponenziale è definito quando a è maggiore strettamente di 0 e diverso da 1,
la funzione logaritmo avrà una base maggiore di 0 e diversa da 1
però è possibile definirla solamente quando l'argomento x è maggiore di 0,
questo perché è la funzione inversa dell'esponenziale
che ha come codominio l'insieme dei numeri reali positivi.
Nel caso particolare in cui la base a sia il numero di Nepero si omette,
per cui quando si trova una scrittura di questo tipo senza base,
si sottintende che la base sia il numero di Nepero
e questo tipo di logaritmo è chiamato anche logaritmo naturale
La regola mnemonica per ricordare la funzione logaritmo
è che la funzione logaritmo rappresenta l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento
Un primo esempio è il seguente:
se abbiamo un logaritmo in base 2 di 8,
esso non è altro che un logaritmo in base 2 di 2 alla terza
e questo logaritmo è = 3 perché è l'esponente che dovremmo dare alla base 2 per ottenere 2 alla terza
e che risulta essere 3.
Soffermiamoci su altre proprietà che legano il logaritmo e l'esponenziale.
Abbiamo detto che se a è diverso da 1 la funzione esponenziale e il logaritmo
sono l'una l'inverso dell'altra.
Dunque, se io applico la funzione esponenziale e il logaritmo ottengo l'argomento,
viceversa se applico prima il logaritmo e poi l'esponenziale comunque ottengo l'argomento
ovvero che a elevato a logaritmo con la stessa base dell'esponenziale di x ottengo x,
e analogamente l'esponenziale elevato a logaritmo naturale di x sarà uguale a x.
Quindi se applichiamo prima il logaritmo e poi l'esponenziale elevato a x ottengo x,
così come se applico il logaritmo naturale di a alla x ottengo x.
Quando si può affermare che y è uguale al logaritmo in base a di x?
Quando applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri,
ottenendo a alla y = ad a elevato a logaritmo in base a di x
Analogamente, come per la prima equivalenza,
anche per il logaritmo naturale y = logaritmo naturale di x
possiamo ottenere l'equivalenza
quando andiamo ad applicare l'esponenziale ad entrambi
ottenendo che e alla y è uguale ad e elevato a logaritmo di x,
ma in base all'uguaglianza evidenziata e elevato a logaritmo di x è uguale dunque ad x.
Quindi possiamo introdurre formalmente la funzione logaritmo distinguendo i due casi:
per la funzione esponenziale se a è maggiore di 1, è strettamente crescente,
mentre se a è compresa tra 0 e 1, allora è strettamente decrescente.
Analogamente per la sua inversa bisogna distinguere
il caso in cui a è maggiore di 1 e il caso in cui a è compreso tra 0 e 1.
Poiché per a maggiore di 1 la funzione esponenziale è una funzione crescente,
la sua inversa, che sarebbe il logaritmo in base a di x,
sarà una funzione strettamente crescente
che ha come dominio il codominio della funzione esponenziale
ovvero l'insieme dei numeri positivi,
mentre come codominio avrà tutto l'insieme R.
Inoltre, essa non è limitata superiormente quindi il sup è uguale a + infinito
e nemmeno inferiormente,
ha un unico punto di intersezione con l'asse x che risulta essere 1.
Possiamo parlare di funzione logaritmo
quando la base è compresa tra 0 e 1
poiché la funzione inversa
l'esponenziale con base compresa tra 0 e 1
è a sua volta strettamente decrescente,
non è limitata né superiormente né inferiormente.
Inoltre risulta avere come dominio sempre l'insieme dei numeri positivi e come codominio l'Insiemi dei numeri reali.
Vediamo qualche proprietà del logaritmo.
La prima proprietà riguarda il prodotto:
il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi,
analogamente il logaritmo di un rapporto corrisponde alla differenza dei logaritmi.
Esiste, poi, la proprietà relativa a un esponente dell'argomento
ovvero se ho il logaritmo in base a di x ad a,
ma a potrebbe anche essere b, c o un qualsiasi esponente,
esso sarà uguale allo stesso logaritmo ma moltiplicato per l'esponente della x,
l'esponente potrebbe essere anche diverso dalla base.
Inoltre c'è la formula di cambiamento di base del logaritmo il quale afferma che:
il logaritmo in base a di b è uguale al logaritmo in base a di x fratto il logaritmo in base b di x,
e questo vale per ogni x maggiore di 0.
Questa formula è particolarmente importante.
consideriamo l'esempio 3:
supponiamo di conoscere il logaritmo in base 3 di 5,
e vogliamo calcolare il logaritmo in base 2 di 5.
In questo caso abbiamo che:
a è uguale a 2, b è uguale a 3, x è uguale a 5.
Quindi ho il logaritmo in base 3 di 5 e voglio calcolare il logaritmo in base a di x,
quest'ultimo sarà uguale a
logaritmo in base 3 di 5 fratto logaritmo in base 2 di 3.
Quindi se ci troviamo dinanzi ad una funzione logaritmica
qual è la condizione da imporre per determinare il dominio?
E' richiedere che l'argomento sia maggiore strettamente di zero, non nullo;
imponiamo, in questo caso, che x al quadrato meno 5 sia maggiore di zero, cioè x al quadrato maggiore di 5,
ovvero x minore di meno radical 5
e x maggiore di radical 5.
Supponiamo di avere questa funzione:
la radice di x + 5 fratto il logaritmo.
Vediamo quali sono le condizioni da imporre sulla funzione per ottenere il dominio:
per il numeratore dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero,
perché è una radice di indice pari,
il denominatore deve essere diverso da 0 e l'argomento del logaritmo maggiore strettamente di 0.
Imponendo queste condizioni otteniamo che
1. x è maggiore o uguale di meno 5;
2. il logaritmo di 3 meno x è diverso da 0;
(Per risolvere questa equazione dobbiamo passare all'esponenziale:
eleviamo entrambi i fattori all'esponenziale
ottenendo che 3 meno x è diverso da e alla 0,
ma e alla 0 è uguale a 1
quindi x risulta essere diverso da 2 e cioè abbiamo x diverso da 2) quindi x minore di 3.
3. x minore di 3.
Unendo graficamente queste soluzioni otterremo l'unione
delle x comprese tra meno 5 e 2
e le x comprese tra 2 e 3.
Vediamo un secondo esempio:
abbiamo la somma di 2 funzioni.
Per il valore assoluto non dobbiamo imporre niente; al denominatore, invece, dobbiamo imporre che esso sia maggiore o uguale di zero perché è una radice pari
(che sia maggiore strettamente di 0 e non uguale a 0)
e quindi abbiamo quattro x maggiore di 0;
per quanto riguarda l'esponenziale evidenziato, abbiamo detto che l'esponenziale non richiede nessuna condizione, ma avendo un rapporto all'esponente, il suo denominatore va imposto come diverso da 0, quindi 1 + x diverso da zero. Dunque otteniamo x maggiore di -4 e x diverso da -1.
Il risultato ottenuto sono tutte le x maggiori di -4, escluso il valore -1.