Adesso introduciamo le funzioni algebriche non lineari
finora le funzioni algebriche che abbiamo introdotto
sono dette lineari perché l'esponente della x
è sempre pari a 1
Una delle prime funzioni con valore assoluto
che già abbiamo introdotto
in modo differente quando abbiamo parlato dei numeri interi
che è la funzione valore assoluto.
Sappiamo infatti che questa funzione ha come dominio tutto l'insiem R
mentre la funzione che assume solamente valori positivi
questa è indicata con questo simbolo tra le due barrette
quindi x tra le due barrette
e viene definita in questo mondo.
Quindi il modulo o valore assoluto di x
è uguale a x quando x è maggiore o uguale a 0
Invece è uguale a - x
se il valore di x è minore di 0
Quindi questo significa
che se calcolo il valore assoluto di meno 5
questo sarà sempre 5
che è uguale anche al valore assoluto di 5
Graficamente questa è rappresentata
Come l'unione delle due rette
della retta y=x
nel caso in cui x è maggiore o uguale a 0
e y=-x
se invece x risulta essere minore di 0
Ricordiamo alcune proprietà di cui avevamo già parlato in merito al valore assoluto
ovvero che la prima proprietà
esprime che il valore assoluto è sempre una quantità
positiva maggiore o uguale a 0
ma che in particolare risulta essere uguale a 0
solamente se x è uguale a 0
Come abbiamo detto prima
il valore assoluto di 5 è uguale al valore assoluto di -5
E poi quindi che il prodotto dei valori assoluti
è uguale al valore assoluto del prodotto
e la stessa proprietà vale per il rapporto
quindi il valore assoluto di un rapporto è uguale al
rapporto dei valori assoluti
Per la somma invece non vale l'uguaglianza
ma una disuguaglianza
definita diseguaglianze triangolare
ed indica che il valore assoluto di una somma è minore o uguale della somma dei valori assoluti
Se analizziamo la funzione valore assoluto
questa sarà una funzione definita in R
e avente valore nell'insieme [0, +∞ ]
perché può assumere solo valori positivi
quindi il suo dominio è tutto l'insieme R
Il codominio della funzione
sarà solamente l'asse positivo delle y
perché assume sempre valori positivi
questa sarà decrescente
se le x sono minori di 0
invece sarà crescente
quando x è maggiore o uguale a 0
Inoltre è una funzione pari perché il valore assoluto di meno x
è uguale al valore di x, non è superiormente limitata
ovvero non ha un massimo in quanto tende all'infinito
mentre è inferiormente limitata
poiché il suo minimo coincide con il suo estremo inferiore ed è uguale a zero
il valore del valore assoluto è 0
quando x è uguale a 0 (x=0)
Un'altra proprietà importante del valore assoluto venire espressa mediante l'analisi delle due diseguaglianze.
Quando il valore assoluto di x è minore o uguale ad un certo valore R?
Graficamente vogliamo stabilire quando la funzione y=|x|≤ r
si trovi al di sotto della retta y = r,
ovvero quando la diseguaglianza y=|x|≤ r si manifesta e per quali valori di x i due segmenti si trovano al di sotto di y = r.
E' possibile notare che ogni volta che scegliamo i valori della x
compresi tra questo rappresenta -r
e questo r
quindi stanno in questo intervallo
le immagini saranno sempre al di sotto di questa retta
invece se andassi a prendere un punto qui
la mia immagine sarebbe al di sopra di questa retta r
se invece il minore è stretto
la x non dovrà comprendere i valori - r e r
La seconda funzione che introduciamo è la funzione potenza ma ad esponente reale,
funzione che si esprime con x elevato alla n.
Questa è definita per ogni x appartenente ad n
Per ogni appartenente ad r
e si ottiene moltiplicando il valore di x per n volte con se stesso.
Dobbiamo distinguere il caso in cui n è pari o dispari:
se n è pari la funzione è definita per ogni r però assume solamente valori positivi
ovvero x al quadrato, x alla quarta
anche se facciamo la potenza pari di un numero negativo otteniamo sempre un numero positivo
quindi il dominio è r, il codominio è l'intervallo positivo dell'asse delle y
come si evince dal grafico questa è crescente
da zero in poi
e decrescente per le x minori di 0
inoltre è una funzione pari perché, ad esempio, -2 al quadrato è uguale a 2 al quadrato
non è limitata superiormente quindi sup +
mentre è limitata inferiormente, il suo minimo è uguale a 0
Nel caso in cui n è dispari alla abbiamo sempre una funzione
definita per ogni x appartenente ad R
MA il suo condominio è tutto l'insieme dei numeri reali
poiché per le x negative i valori assunti sono negativi.
Questa è una funzione strettamente crescente
e quando n = 1 questa si riduce proprio alla funzione y = x
che corrisponde alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
E' una funzione dispari
perché, ad esempio, -3 alla terza è diverso da 3 alla terza
al contrario risulta illimitata superiormente, quindi il suo sup = +
ed è anche illimitata inferiormente, il sup = - ∞
La funzione potenza x alla n è strettamente crescente nel caso in cui n è dispri
nel caso in cui n è pari è strettamente crescente
solo quando le x sono maggiori o uguali a 0.
E'possibile invertire questa funzione?
Prendiamo n
la funzione sarà strettamente crescente quando x è maggiore o uguale a 0
Poiché si può dimostrare con il teorema degli zeri che per ogni y maggiore di zero esiste almeno una x maggiore di 0
per cui vale l'equazione y = x elevato alla n, la suriettività,
per il criterio di invertibilità, di cui abbiamo già parlato nella lezione 5,
abbiamo suriettività e stretta crescenza quindi biettività della funzione ed anche invertibilità.
ma invertibilità quando le x sono maggiori o uguali a zero
quindi non possiamo dire che la funzione potenza è globalmente invertibile
ovvero per ogni x appartenente ad r
ma lo è solamente per una sua restrizione,
solamente quando andiamo a prendere le x maggiori o uguali di 0
Quindi è solamente localmente invertibile
e la sua funzione inversa è chiamata radice ennesima, e sarà pertanto definita solamente per le x maggiori o uguali di 0.
Quindi la radice ennesima si definisce come radice ennesima di x
o x elevato a 1 su n
Se n è pari dobbiamo sempre distinguere per il caso n pari e n dispari
se n è pari dobbiamo considerarne una restrizione, quindi per le x maggiori di 0,
quindi questa sarà una funzione definita per le x maggiori di 0
che assume sempre valori positivi,
con il semiasse positivo delle y
è strettamente crescente e illimitata superiormente
mentre è limitata inferiormente
il suo punto di minimo è uguale a 0
Nel caso n pari la radice ennesima
è l'inversa della restrizione all'intervallo [0, + ∞]
della potenza ennesima
otteniamo che la radice ennesima di x alla n
nel caso in cui prendiamo solo le x maggiori o uguali a 0
darà come risultato x, se però consideriamo
tutte le x in R, la radice ennesima di x alla n
con n pari, è uguale al modulo di x.
Infatti se noi consideriamo, ad esempio, la radice quadrata di x al quadrato darà come risultato 4.
Per estrarre la radice al primo membro non abbiamo x
la radice quadrata x al quadrato non si semplifica e si ottiene x
bensì è uguale al valore assoluto di x.
Quando la radice quadrata di x al quadrato è uguale a 4?
Sia quando x è uguale a -2 sia quando x è uguale a -4
In questo caso la radice avrà come risultato + o -2
poiché sia se vado a prelevare + 2 al quadrato ottengo 4 ma anche se vado ad elevare -2 al quadrato
ottengo ancora quattro.
Diversamente accade se considero n dispari
la funzione sarà strettamente crescente
dunque globalmente invertibile
e la sua inversa è la radice ennesima che ha dominio R e cominio R
strettamente crescente e illimitata superiormente e inferiormente
In questo caso la funzione potenza e la radice sono l'una l'inversa dell'altra per cui la radice ennesima di x alla n sarà uguale a x.
Possiamo considerare questa tabella riassuntiva
Tipo di funzione, condizione, un esempio e la risoluzione.
Supponiamo di avere un polinomio
la condizione di esistenza non è alcuna
quindi se consideriamo un qualsiasi polinomio sarà definito per ogni x.
Quando abbiamo una funzione fratta, dobbiamo imporre che il suo denominatore sia diverso da 0
in questo caso 2 + x deve essere diverso da 0
e questo si verificherà quando x sarà diverso da -2.
Se invece consideriamo una funzione razionale con indice pari, abbiamo detto che deve essere maggiore o uguale di 0
perché è l'inversa di una restrizione della potenza di indice pari
per cui dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale di zero ovvero quando x è minore o uguale di 3
Se invece l'indice è dispari
non c'è alcuna condizione.
Invece se abbiamo un' irrazionale con radice di indice pari, però questa volta al denominatore, dobbiamo chiedere che sia maggiore strettamente di 0
perchè dobbiamo escludere la possibilità che sia uguale a zero al denominatore.
Se invece è un' irrazionale con radice di indice dispari
non bisogna imporre condizioni
perché la radice ennesima di indice pari è globalmente l'inversa della potenza ennesima e quindi è definita per ogni x appartenente ad R.
Introduciamo adesso le potenze con esponente reale.
Prima avevamo potenze con esponente naturale
che si presentavano nella forma x alla n,
questa volta abbiamo x alla alfa, che può essere
un qualsiasi numero reale.
Distinguiamo quindi due casi:
se alfa è minore di 0, la funzione sarà definita in 0, +∞ escluso 0
e assume valori nella semiretta del semiasse positivo delle y.
Escludiamo lo zero perché stiamo parlando di x alla alfa
quindi avremo esponente negativo, la x deve andare al denominatore
e per questo non può essere nulla.
La funzione è strettamente decrescente nel suo dominio,
non è superiormente limitata, è inferiormente limitata però non ha un minimo.
Esempi sono: x alla -4, x alla -e,
quest'ultimo è un esempio eclatante
perché -4 rientra in questo
però sarebbe uno fratto x alla quarta
quindi potremmo farlo rientrare anche tra le razionali fratte.
Quello che veramente è un numero reale e non naturale
è x elevato a -e.
Se invece alfa è maggiore di 0 vediamo che per alfa maggiore di 1 o alfa compreso tra 0 e 1
abbiamo due grafici differenti.
In entrambi i casi però le funzioni sono definite in tutto [0, +∞]
incluso lo 0, questa volta possiamo considerarlo perchè
abbiamo un esponente positivo
quindi la x non andrà al denominatore
e che assume valore in [0, +∞]
In entrambi i casi vediamo che è strettamente crescente,
non è limitato superiormente
mentre è inferiormente limitata e anche il minimo, infatti, è pari a 0.
Esempi sono: x elevato a radical 2, x elevato ad e
oppure un polinomio elevato ad e.
Possiamo ricordare le seguenti proprietà:
se abbiamo x elevato a m fratto n, che è un numero razionale e quindi non naturale,
questo è uguale alla radice ennesima di x alla m
così come x elevato a -m fratto n sarà uguale a 1 fratto radice ennesima di x elevato ad m.
Quindi se abbiamo una funzione potenza con esponente reale
ovviamente possiamo avere sia x ad alfa
ma anche una funzione f(x) elevato ad alfa.
La condizione da imporre sulla base quando alfa è maggiore di 0
è che questo sia maggiore o uguale a zero
nel caso in cui alfa è maggiore di 0.
Quando alfa invece è minore di 0
dobbiamo imporre che non possa assumere valore nullo
quindi che sia maggiore strettamente di 0.
Se abbiamo f(x) uguale a (9 + x) tutto elevato a radical 2
dobbiamo imporre che la base sia maggiore o uguale di 0
cioè 9 + x maggiore o uguale di 0
cioè x maggiore o uguale di -9.