Introduciamo le funzioni algebriche lineari.
La funzione più semplice che si incontra in questa classe è la funzione costante definita dall'equazione y o f(x) = c
dove c è una costante, e questo per ogni x appartenente ad A, quindi al dominio in cui è definita la funzione
indichiamo quindi con A il dominio della funzione.
Graficamente la rappresentazione di questa retta sarà costituita da tutti quei punti la cui ascissa può essere qualsiasi n coppie e la cui ordinata sarà sempre c.
Quindi graficamente se c è una costante diversa da 0 la funzione y=c si rappresenta con una retta parallela all'asse delle x così come si evince dalla figura a sinistra.
Il suo dominio può essere tutto R o un suo sottoinsieme
Insiemi finiti e codominio della funzione quindi diciamo solo il vassoio va l'orecchio proprio perché la
la funzione assume un solo valore
e ovviamente questa non essendo né biettiva né iniettiva non risulta essere dunque invertibile.
Se invece la costante c è uguale a 0 la funzione invece si rappresenta come l'asse delle x ovvero come l'equazione che si esprime come y=0 che rappresenta l'equazione dell'asse delle x
e anche questa avrà come dominio l'insieme di tutti i numeri reali mentre come codominio solamente il valore 0 e non è mai invertibile.
Come funzione costante possiamo trovare la funzione y=c che è una retta parallela all'asse delle x, ma potremmo trovare anche x=c che per completezza introduciamo.
La funzione x=c rappresenta una retta che questa volta risulta essere parallela all'asse delle y
La retta x=0 rappresenta dunque l'asse delle y.
Dopo aver introdotto la funzione banale, ovvero la funzione costante, la funzione y=m(x)+q
Questa funzione è detta lineare e rappresenta la retta dell'equazione che è definita per ogni x appartenente ad R e dove individuiamo m che risulta essere il coefficiente angolare della retta
quindi che rappresenta la pendenza della retta y rispetto all'asse x laddove invece l'intercetta q rappresenta il punto in cui la retta interseca l'asse delle y.
Possiamo distinguere 3 casi a seconda che m assuma un valore positivo, negativo o nullo.
Poiché m rappresenta la pendenza della retta, se il coefficiente angolare è positivo significa che la retta passerà per il primo e per il terzo quadrante, i quadranti si iniziano a contare in senso antiorario.
Se, invece, il coefficiente angolare è negativo significa che la retta passa per il secondo e per il quarto quadrante.
Se, ancora, il coefficiente angolare è 0 l'equazione si riduce a y=q ovvero una retta parallela all'asse delle x che si troverà
nel primo e nel secondo quadrante nel caso in cui q è maggiore di 0, mentre passerà per il terzo e quarto quadrante se q è minore di 0
Ma q può essere anche uguale a 0 e in questo caso abbiamo l'equazione y=0 che coincide proprio con l'asse delle x.
Abbiamo anche altri due casi particolari dell'equazione y=m(x)+q, ossia il caso in cui q=0, l'intercetta è 0 e il coefficiente angolare è 1 o -1.
Nel caso in cui m=1 abbiamo l'equazione y=x che corrisponde alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, passa per l'origine degli assi e divide il primo e terzo quadrante in due parti uguali.
Se invece m è minore di 1 la retta è la bisettrice del secondo e del quarto quadrante ed è una funzione decrescente com'è possibile notare nel grafico, mentre la funzione y=x quindi la bisettrice del primo e del terzo quadrante sarà invece una funzione crescente.
E possibile fare un'osservazione. Abbiamo considerato la retta y =m(x) + q, se q= 0 la funzione si riduce a y=m(x) con m appartenente ai numeri reali. Questa funzione è molto importante perchè esprime una relazione di proporzionalità diretta tra le grandezze x e y.
Pertanto dire che due grandezze x e y sono direttamente proporzionali significa che il loro rapporto y fratto x risulta essere costante dove m è detta costante di proporzionalità.
Pertanto se m>0 la retta passa per il primo e per il terzo quadrante; se m<0 passa per il secondo e per il quarto quadrante; nel caso in cui m=0 coincide con l'asse delle x.
Naturalmente possiamo definire anche una relazione di proporzionalità inversa. Avremo una relazione di proporzionalità diversa quando non è il rapporto tra le due grandezze a rimanere costante ma il prodotto e la m verrà chiamata costante di proporzionalità inversa.
Se la proporzionalità diretta graficamente si rappresenta come una retta, la relazione di proporzionalità inversa tra le due grandezze si esprime mediante un ramo di iperbole che appartiene al primo o al terzo quadrante a seconda che m sia >0 o <0.
Il ramo di iperbole si avvicina agli assi coordinati ma senza toccarli, infatti si dice che è asintotica.
Nel caso in cui m=0 il ramo di iperbole si degenera nell'insieme dei dua assi cartesiani e si ottiene l'equazione x per y= 0.
Facciamo degli esempi: se consideriamo questa tabella si vede subito che il rapporto delle due grandezze 6 fratto 2, 9 fratto 3 e 15 fratto 5, è sempre costante e =3 . Dunque possiamo dire che le due grandezze sono direttamente proporzionali
ovvero la relazione che c'è tra i due grandezze è del tipo y=3x, è possibile notare che crescendo il valore di x crescono anche i valori della y e graficamente per rappresentare questa retta si rappresentano la coppia dei punti che compaiono nella tabella.
Se invece consideriamo quest'altra tabella è evidente che è il prodotto delle due grandezze ad essere costante. Ad esempio 24 per 2=16 per 3 che è uguale al prodotto di altre due grandezze che è uguale proprio a 48.
Pertanto le due grandezze sono inversamente proporzionali, e la relazione che esprime il loro rapporto è proprio la funzione x per y= 48 che si rappresenta mediante il ramo di iperbole come indicato in figura.
In aggiunta a queste funzioni abbiamo parlato anche delle funzioni polinomiali. Supponiamo di fare un esercizio diverso e di voler determinare il dominio della funzione polinomiale
Se consideriamo questa funzione, il dominio è tutto R e questo si può esprimere il tre modi differenti: D=R, con gli intervalli e quindi tutte le x che appartengono a -infinito e +infinito, ovvero è definita per ogni x appartenente a R.
Se invece la funzione è razionale fratta dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da 0 per cui x al quadrato -1 è diverso da 0 ovvero che x al quadrato è diverso da 1 e quindi x è diverso da + o - 1.
In questo caso il dominio della funzione sarà composto da tutti i numeri reali tranne -1 e 1. Questo lo indichiamo o con tutti tranne 1, oppure con gli intervalli, le x che appartengono al dominio sono tutte quelle che vanno da - infinito a 1, da -1 a 1 infine quelle che stanno nell'intervallo 1 +infinito.
Quindi indichiamo la parentesi aperta per dire che il valore non è incluso e chiusa se invece il valore è incluso.