Introduciamo un'ulteriore classificazione delle funzioniPossiamo suddividere tutte le funzioni in: algebriche e trascendenti.
Supponiamo di avere una funzione di A in B. Essa è algebrica se la sua espressione analitica y=f(x) è costruita mediante le sole operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice.
Esempi di funzioni algebriche sono quelle espresse mediante polinomi ossia somma o differenza di potenze o estrazioni di radici
come ad esempio y=x5 - X3 oppure rapporto di polinomi come y=2x+5
Oppure una radice ad esempio la radice
Quadrata di 2X alla terza
o anche una radice di indice pari quindi radice quinta di una funzione espressa mediante rapporto di polinomi.
Quando una funzione invece non è possibile esprimerla attraverso le sole operazioni fondamentali aritmetiche si parla di funzione trascendente.
Esempi di funzioni trascendenti sono quelle di seno e coseno, la funzione tangente, il logaritmo, la funzione esponenziale che vedremo in seguito.
Dunque tra le funzioni algebriche ricordiamo le razionali intere, che sono proprio quelle funzioni la cui espressione analitica si esprime attraverso un polinomio.
Per esempio qui abbiamo un polinomio di quarto grado proprio perchè il monomio di grado massimo è quello che si presenta con esponente pari a 4
Possiamo avere, poi, le razionali fratte quindi che sono funzioni che sono esprimibili attraverso il rapporto invece di polinomi.
Qui abbiamo il rapporto tra un polinomio di quinto grado fratto un polinomio di secondo grado.
Ancora quelle funzioni che invece si esprimono attraverso delle radici di polinomi o di rapporti fra polinomi vengono chiamate funzioni irrazionali.
Come già anticipato quando abbiamo parlato in generale delle funzioni, ogni funzione è esprimibile attraverso un grafico
quindi attraverso una rappresentazione in cui, consideriamo un piano cartesiano:
consideriamo le coppie x,f(x) perchè abbiamo detto che ogni punto di x corrisponde ad un punto f(x)
La coppia x, f(x) individua un punto nel piano cartesiano di assi x e y dove x rappresenta l'asse delle ascisse e y l'asse delle ordinate.
Il grafico di una funzione sarà un'insieme di coppie, pertanto è un sottoinsieme dell'insieme di R2
dove per R2 possiamo indicare il prodotto cartesiano di R per se stesso.
Data una funzione, il problema fondamentale è quello di costruire questo grafico.
D'ora in poi procederemo allo studio degli elementi che sono necessari a costruire il grafico di una funzione.
La prima cosa fondamentale per costruire il grafico di una funzione è definire i valori che una funzione può assumere, ossia l'insieme sul quale la funzione è definita.
Questo insieme anzi il più ampio sottoinsieme di R, in quanto ci rimettiamo alle funzioni reali in cui è definita la funzione, è chiamato dominio della funzione o anche campo di esistenza e lo indicheremo con D
e indicheremo invece B come il codominio della funzione cioè l'insieme di valori che la funzione assume in corrispondenza dei valori del dominio.
Indichiamo, invece, con la I maiuscola l' intervallo in cui la funzione può essere invertita e quindi l'intervallo nel quale la funzione risulta essere invertita
Abbiamo introdotto qualche esempio delle funzioni algebriche, abbiamo parlato delle razionali, delle razionali fratte e delle irrazionali.
Diamo, in linea generale, l'idea di dominio per questo primo tipo di funzioni algebriche.
Se abbiamo una funzione razionale intera ovvero una funzione espressa attraverso un polinomio, in realtà i polinomi sono definiti per qualsiasi valore della x, il loro dominio è tutto l'insieme dei numeri reali
perché qualsiasi valore reale si associa alla x la funzione ha sempre senso quindi è definita per qualsiasi valore della x.
Le funzioni razionali fratte invece sono espresse attraverso il rapporto tra polinomi
e la condizione necessaria è che il denominatore sia diverso da 0, mentre non ci sono condizioni da imporre al numeratore.
Per cui il dominio di queste funzioni sarà costituito da tutto l'insieme reale a cui, però, bisogna togliere gli zeri del polinomio al denominatore
in quanto il denominatore non può assumere valore 0, un polinomio assume valore zero proprio nei suoi zeri.
Il dominio sarà costituito da tutto l'insieme R meno questi valori x0, x1, xn che sono gli eventuali zeri del polinomio al denominatore di x.
Per quanto riguarda le funzioni irrazionali, esse sono esprimibili attraverso una radice ennesima di un polinomio, o meglio la radice ennesima di una qualsiasi funzione di x dato che non necessariamente sarà un polinomio.
Dobbiamo distinguere il caso in cui l'indice alla radice n sia pari o dispari in quanto se risultasse dispari il dominio della funzione coincide con il dominio della funzione g(x)
quindi nel caso in cui g(x) sia un semplice polinomio sarà definito in tutto R,
se g(x) invece invece è un rapporto di polinomi di conseguenza sarà tutto R meno gli zeri del polinomio al denominatore.
E poi andremo a valutare g(x) di volta in volta, può essere anche una funzione trascendente di cui vedremo poi i domini.
Se invece l'indice di n è pari, sappiamo che il radicando di una radice di indice pari non può essere negativo, dobbiamo imporre che il radicando g(x) sia maggiore o uguale a 0,
Pertanto il suo dominio sarà l'insieme di quei valori che rendono a funzione g(x) maggiore o uguale a 0.