In questa lezione introduciamo le funzioni composte,
alcune funzioni particolari come quelle pari, dispari e periodiche,
funzioni monotone e funzioni limitate.
Prima di tutto definiamo una funzione composta mediante due funzioni.
Consideriamo tre sottoinsiemi dei numeri reali
(perché stiamo sempre parlando di funzioni reali con variabili reali)
e due funzioni g: di A in B e la funzione f: di B in C,
tali che l'insieme B contenente i valori della prima funzione g
coincida con il dominio della seconda funzione in f.
Con questa condizione sull'insieme contenente i valori di g e sul dominio di f,
si può definire una terza funzione data dalla composizione delle due,
quindi una funzione h: che va da A in C,
definita ponendo h(x) uguale ad f(g(x)) con x appartenente ad A.
In tal caso la funzione h si indica con f composto g
("composto" viene indicato con il pallino °).
In altre parole si ha che f composto g
è uguale ad f(g(x)) per ogni x appartenente ad A.
Abbiamo dunque una funzione g che ad ogni x appartenente ad A,
associa un elemento appartenente a B
(chiamiamo "g(x)" questo elemento).
Definita f su B e posto che g(x) sia un elemento di B
perché quando andiamo a calcolare la funzione g su un elemento x
il valore g(x) che otteniamo non è altro che un numero reale appartenente a B,
otteniamo che f prende valori in B.
Questo significa che possiamo valutare la funzione f sul nuovo elemento g(x)
(che è un numero reale)
e quindi otteniamo f(g(x)) elemento di C.
In sintesi otteniamo la funzione h: che da A va in C.
Questo concetto ci ricollega a quello di funzione inversa
poiché quando abbiamo parlato di come esprimere la relazione che
sussiste tra una funzione e la sua inversa, avevamo detto che
la quest'ultima era uguale ad x.
(Nella slide c'è un errore: al punto n.2 f-1, dovrebbe essere scritto f(f-1(y)) come evidenziato al punto 2').
La scrittura al punto n.1 f-1(f(x)), come da definizione, non è altro che il composto della funzione f(g) con g
quindi f-1(f(x)) non è altro che la composizione di f-1(f) con f(x)
che ci dà x stesso ovvero l'identità di A.
E' identità perché, partendo da x, applico f e poi f-1 per ottenere x.
In sintesi partendo da x ricavo sempre x
e questa è l'identità perché ad x appartenente all'insieme A, associo infine sempre x appartenente all'insieme A.
Nella seconda f(f-1(y))
abbiamo che partendo da y otteniamo sempre y,
quindi f composto di f-1 è uguale all'identità di B.
Identità di B significa che ad ogni elemento di B associo un elemento di B stesso.
Calcoliamo un'inversa.
Date due funzioni f(x)=x al cubo e g(x) = alla radice √2x-1.
Procedendo in maniera formale dobbiamo verificare che
o l'insieme di arrivo di f coincide con il dominio di g o viceversa.
Si verifica che l'insieme di arrivo di g coincide con il dominio di A
e anche l'insieme d'arrivo di f coincide con il dominio di g.
Dunque possiamo calcolare sia f composta con g(x) (f°g(x)) sia g composto con f(x) (g°f(x)).
In f°g(x), quindi la funzione f(g(x)), dobbiamo prima di tutto calcolare g(x).
g(x) è uguale alla radice √2x-1.
Otteniamo f(√2x-1) e per calcolarla,
dato che f(x) è uguale ad x al cubo e
la x corrisponde a tutta la radice √2x-1,
allora elevo al cubo la radice stessa.
f della quantità rappresentata corrisponde alla quantità stessa elevata al cubo, come da premessa.
Calcoliamo ora g°f(x),
quindi la funzione g(f(x)).
f(x) è uguale ad x alla 3, calcoliamo ora g(x).
Dalla funzione data in partenza sappiamo che g(x) è uguale alla radice √2x-1,
x è uguale ad x al cubo, quindi otterremo che g(x)
è uguale alla radice √2x al cubo meno 1.
Analogamente possiamo calcolare f composto di f(x).
f(x) è uguale ad x al cubo,
calcoliamo poi f(x al cubo)
elevando il tutto di nuovo alla 3
ottenendo così (x alla terza) elevato alla terza
che, per le proprietà delle potenze, è uguale ad x alla 9.
E così anche g°g(x).
g(x) è uguale alla radice √(2x-1),
calcoliamo g su questo elemento
dove g è uguale alla √2x-1 e otteniamo quindi √2(√2x-1)-1.
E' possibile effettuare tutte queste operazioni di composizione
ma non bisogna confondere le operazioni di composizione con quelle di prodotto di funzioni.
Nella composizione di funzione otteniamo una funzione, essa è ancora una funzione dotata di dominio e codominio.
Il prodotto di funzioni invece genera un valore numerico, un numero reale.
Quando infatti vado ad effettuare il prodotto di funzioni eseguo il prodotto tra f(x) e g(x) che sono due numeri.
Se avessi dato un valore alla x, avrei ottenuto un numero.
Allo stesso modo anche la somma di funzioni espressa dalla somma f(x)+g(x) e quindi dalla somma di x alla 3 + √2x-1,
genera un valore numerico nel momento in cui alla x fornisco un valore.
Graficamente prodotto, somma e composizioni sembrano simili,
ma le operazioni svolte per ottenerle sono nettamente differenti.
Analizziamo ora l'inversa della composizione.
Data una funzione composta g°f, voglio ottenere l'inversa della stessa.
La funzione inversa della funzione composta data coincide con la composizione delle stesse funzioni con ordine invertito.
Prima avevo g composto con f, ora avrò prima f-1 composto con g-1.
Per esempio: date le funzioni g(x)=x+5 ed f(x)=3x
calcoliamo l'inversa della funzione composta.
Per calcolare l'inversa della composta
è necessario calcolare f-1 composto di g-1.
Sappiamo che la composta è g(f(x)), con f(x)=3x
e g(3x) a sua volta uguale a 3x+5.
Per calcolare l'inversa, come abbiamo detto, necessitiamo di sapere f-1 e g-1.
Queste due funzioni sono invertibili per cui otterremo che f-1(x),
posto y=3x,
sarà uguale a x/3,
mentre g-1(x), posto y=x+5, sarà uguale a x+5.
Andando a comporre le due funzioni f-1°g-1(x), avremo che g-1(x) = x-5 e di conseguenza f-1(x-5),
sostituendo alla x il valore di g-1(x), sarà uguale a x-5/3.
Un'altra classe di funzioni è quella definita dalle funzioni pari.
Data una funzione f: di A in B,
essa è pari se il valore di f, calcolato in -x, è uguale al valore di f(x).
Come accade per il quadrato, dove se eleviamo al quadrato -2, è la stessa cosa di quando si eleva al quadrato +2.
Esempi di funzioni pari sono x al quadrato, x alla quarta e coseno di x.
Queste funzioni hanno la caratteristica di essere simmetriche rispetto all'asse delle y.
Nella prima figura è rappresentata la funzione y=x al quadrato. In giallo è evidenziato l'asse delle y, la funzione è uguale sia a sinistra che a destra.
Nella seconda immagine invece è rappresentata la funzione y=cos(x), anche qui sia a sinistra che a destra la funzione è speculare.
Una funzione è detta dispari da A in B,
se il valore di f(-x) è uguale all'opposto del valore di f in x.
Graficamente, una funzione dispari ha la caratteristica di essere simmetrica rispetto all'origine degli assi,
cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra cambiati di segno.
Esempi di funzione dispari sono x, x alla 3 e seno di x.
Nelle immagini sono rappresentate a sinistra la funzione f(x)=x alla terza,
a destra la funzione f(x)=sin(x).
A destra e a sinistra dell'origine hanno gli stessi valori però cambiati di segno.
Consideriamo l'esempio n.1: f(x)=x alla quarta + 3x al quadrato.
Per verificare che sia pari, dobbiamo calcolare f(-x)
e vedere se questa è uguale al valore di f(x).
Andando ad effettuare le opportune sostituzioni, otteniamo che in effetti è uguale ad f(x), dunque pari.
La funzione non è dispari perché -f(x) dà come risultato -x alla quarta - 3x al quadrato, che è diversa da f(-x).
Anche l'altro esempio è espresso chiaramente e facilmente deducibile.
In figura sono elencate una serie di proprietà delle funzioni pari e dispari.
tra cui possiamo annotare che l'unica funzione che è sia pari che dispari, è la funzione costante f(x)=0.
Le altre riguardano il prodotto e la somma tra funzioni pari.
Una funzione è pari se il suo andamento si ripete dopo un certo periodo T di tempo.
Se T è un numero reale, allora la funzione sarà periodica se il valore che f assume in x.
Se in x la funzione assume un valore,
dopo un intervallo di tempo T essa assumerà lo stesso valore.
Attenzione! In figura c'è un errore: f(x+T)=f(x) e non f(T).
Esempi di funzioni periodiche sono le funzioni trigonometriche sen x e cos x, periodiche di periodo 2π,
ovvero sen(x) è uguale al valore che assume il seno in (x+2π).
Ugualmente se a 2π sostituisco 4π, 8π e via dicendo, ottengo lo stesso valore.
Mentre la funzione di tangente è periodica di periodo π,
dunque la tg(x)=tg(x+π) (anche qui è presente un errore: non è 2π, ma π).