Introduciamo adesso le funzioni biettive.
Prima di tutto dobbiamo parlare però di funzione iniettiva.
Nel dare la definizione di funzione
avevamo detto che una funzione deve essere tale che ad ogni elemento
del dominio A, corrispondesse uno ed un solo elemento del codominio B.
Può sussistere anche il caso in cui ad una coppia di elementi distinti di A,
corrispondano coppie di elementi distinti in B.
In tal caso parliamo di funzione iniettiva.
Una funzione è iniettiva se, scegliendo una coppia distinta di elementi di A
a questi corrispondano una coppia distinta di elementi in B mediante f,
ovvero x1 diverso da x2 implica che f(x1) è diversa da f(x2).
Precisiamo un momento che
il codominio f(A) non è detto coincida sempre con B,
dunque B è diverso dal codominio di A.
Tornando alle funzioni iniettive possiamo dire che ad ogni coppia distinta corrispondano
delle immagini distinte,
equivalentemente se abbiamo due immagini uguali
allora ad esse corrisponderanno due elementi uguali.
Vediamo degli esempi dati dalle immagini: quella a sinistra è una funzione iniettiva
perché vediamo che comunque presi in considerazione elementi distinti, essi hanno immagini distinte.
Ad 1 corrisponde solo D, a 2 corrisponde solo B, a 3 solo A.
La funzione a destra invece non risulta essere iniettiva
perché è presente una coppia di elementi distinti (3 e 4)
però hanno la stessa immagine, ovvero ad entrambi corrisponde C.
Questa non è quindi una funzione iniettiva.
Una precisazione: abbiamo detto che una funzione per essere iniettiva
o deve valere l'implicazione x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2) o, equivalentemente, l'implicazione f(x1)=f(x2)⇒x1=x2.
Da non confondere con l'implicazione x1=x2 ⇒ f(x1)=f(x2) che esprime semplicemente il fatto che f è una funzione,
ovvero se due elementi sono uguali, ho un unico elemento, a questo deve corrispondere uno e solo un altro elemento; non possono esserci elementi distinti.
Consideriamo un esempio di funzione iniettiva. Nell'esercizio n.1
dati gli insiemi A={1,2,3} e B={1,3,5,7}
e la funzione che ad ogni x associa 2x+1.
Vogliamo verificare se è iniettiva.
Poiché si tratta di un insieme finito
possiamo andare a calcolare la funzione sugli elementi del dominio A
e verificare se ci sono elementi distinti che hanno la stessa immagine.
In tal caso possiamo dire che la funzione non è iniettiva.
Calcoliamo f(1), quindi dobbiamo andare a sostituire
nell'espressione 2x+1, 1
Abbiamo dunque 2 per 1 più 1 che è uguale a 3,
quindi ad 1 dell'insieme A, facciamo corrispondere il punto 3 dell'insieme B.
Calcoliamo poi f(2), sostituiamo il 2 ed otteniamo 2 per 2 = 4, 4 più 1 =5.
Al punto 2 facciamo corrispondere il punto 5 dell'insieme B.
f(3) è uguale a 2 per 3 = 6, 6 più 2 = 7,
al punto 3 dell'insieme A, corrisponde l'elemento 7 dell'insieme B.
Ad elementi distinti corrispondono immagini distinte, quindi la funzione è iniettiva.
Possiamo dire che f(A) risulta essere l'insieme dei valori assunti,
costituito dagli elementi {3,5,7}
Dall'insieme dei valori assunti {3,5,7} si nota che f(A) è diverso dall'insieme B.
B contiene l'elemento 1, ma 1 non è immagine di alcun elemento della funzione f.
Introdurremo ora il concetto di funzione suriettiva.
Una funzione si dice suriettiva quando, data una funzione tra due insiemi A e B,
ogni elemento di B è immagine, attraverso f, di almeno un elemento di A.
Quindi ogni elemento di B è immagine, attraverso f, di almeno un elemento di A.
Per essere suriettiva, la funzione può essere immagine anche di più elementi
l'importante è che ce ne sia almeno uno per renderla tale.
Un'altra definizione che possiamo fornire è la seguente:
una funzione è suriettiva quando il codominio coincide con l'insieme di arrivo B.
Avevamo detto che f(A), ovvero l'insieme dei risultati che si ottengono applicando la funzione f ad A,
è diverso dall'insieme di arrivo B.
Quando i due coincidono, quindi f(A) uguale a B, la funzione è suriettiva.
Consideriamo ora due esempi.
1. A sinistra abbiamo una funzione tale che ad a e a b corrisponde 1
e a c corrisponde il numero 2.
Riflettendo sulle nozioni che abbiamo fornito per la funzione iniettiva,
è subito evidente che il primo esempio non è iniettivo in quanto a e b hanno la stessa immagine 1.
Possiamo invece dire che essa è suriettiva
perché l'insieme di arrivo B è costituito dagli elementi {1,2}
ed entrambi sono immagine degli elementi di A;
{1} è addirittura immagine di due elementi {a,b} dell'insieme A,
mentre {2} è immagine dell'elemento {c}.
2. A destra abbiamo una funzione non suriettiva.
Nell'insieme di arrivo B abbiamo gli elementi {1,2,3,5}
mentre {1,2,3} sono immagine di qualche elemento di A,
{5} non è immagine di alcun elemento.
Nel primo esempio è chiaro che l'insieme di arrivo B coincida con tutti i risultati della funzione f(A),
mentre nel secondo l'insieme di arrivo B possiede un elemento in più rispetto all'insieme delle immagini.
Analizziamo l'esercizio proposto.
Dati due insiemi A e B costituiti dagli elementi A={2,4,6,-2} e B={1,3,-3,9,7}
ed una funzione di A in B definita esprimendo le associazioni esistenti tra gli elementi di A e di B per cui:
l'immagine di 2 attraverso f è uguale a 1; l'immagine di 4 attraverso f è uguale a 3;
l'immagine di 6 attraverso f è uguale a -3; e infinite l'immagine di -2 attraverso f è uguale a 1
(Questo appena usato è un modo alternativo per esprimere la funzione).
Vogliamo stabilire se la funzione f è una funzione, se è iniettiva, se è suriettiva e scrivere il dominio e il suo codominio.
Prima di tutto dobbiamo stabilire il dominio e quali valori possiamo associare ad x.
Questa funzione è definita in tutti gli elementi di A, perché al posto della x compaiono i numeri 2, 4, 6 e -2, tutti elementi presenti nell'insieme A.
E' una funzione perché non ci sono elementi che hanno due immagini distinte:
2 ha per immagine solo 1, 4 solo 3, 6 solo -3 e -2 solo 1.
Si vede subito che la funzione non è iniettiva perché esistono due elementi distinti
2 e -2 che hanno la stessa immagine 1.
La funzione non è però nemmeno suriettiva
perché c'è un'immagine dell'insieme di arrivo B, sia 9 che 7,
che non sono immagine di alcun elemento di A attraverso f.
Mentre il dominio è tutto quanto l'insieme A,
il codominio, ovvero l'insieme dei valori assunti, è costituito da {1,3,-3}
Altro esempio di funzione non suriettiva, l'esempio n.2,
di funzione che associa ad ogni x, x al quadrato.
Non è una funzione suriettiva perché non è detto che tutti i numeri naturali siano il quadrato di un altro numero naturale,
se prendiamo x al quadrato = a due, non esiste un numero naturale N il cui quadrato sia uguale a 2.
Ugualmente la stessa funzione, definita però nel campo dei numeri interi, non è suriettiva per lo stesso motivo.
Data la definizione di funzione iniettiva e suriettiva, possiamo parlare di funzione biettiva.
Una funzione è biettiva se è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.
Ciò significa che f non solo fa corrispondere ad ogni x appartenente ad A
uno ed un solo elemento y appartenente a B,
ma anche che per ogni y appartenente all'insieme B
esiste un solo elemento x appartenente all'insieme A tale che y è uguale ad f(x).
Se gli insiemi A e B hanno un numero finito di elementi
allora, essendo la funzione biettiva, essi devono avere anche lo stesso numero di elementi
perché ad ogni elemento di A deve corrispondere un elemento di B e viceversa.
Quindi il numero di elementi di A deve essere uguale al numero di elementi di B.
Una funzione, per non essere biettiva, dovrà semplicemente o non essere iniettiva, o non essere suriettiva.
Riepiloghiamo attraverso le immagini.
Nella prima immagine la funzione non è iniettiva dato che abbiamo gli elementi {a,b} a cui corrisponde lo stesso elemento {1},
ma suriettiva perché ad ogni elemento dell'insieme di arrivo
è immagine di almeno un elemento del dominio
(addirittura in questo caso sia 1 che 2 sono ciascuno immagine di due elementi di A).
Nella seconda immagine la funzione è iniettiva
perché a coppie di elementi distinti di A
(indicati con dei puntini, dove ogni puntino è distinto dall'altro)
corrispondono coppie di elementi distinti.
Non è però una funzione suriettiva perché ci sono due puntini nell'insieme B
che non sono immagine di alcun elemento dell'insieme A.
Per quanto riguarda l'ultima immagine, già graficamente possiamo osservare che essa è una funzione sia iniettiva che suriettiva e dunque biettiva.
Se una funzione è biettiva o biunivoca
allora può essere anche invertita.
Definiamo una funzione invertibile:
data una funzione f da A in B,
se essa è biunivoca allora è anche invertibile.
Si chiama "funzione inversa" la funzione che va da B ad A.
Dominio e insieme di arrivo vengono invertiti
e la funzione ottenuta da B ad A sarà tale che
ad ogni x appartenente a B fa corrispondere l'unico x appartenente ad A
per cui f(x) è uguale ad y.
Un altro modo di esprimerla è quello di
indicare l'inversa come
f a -1 di f(x) è uguale ad x, per ogni x appartenente ad A;
o equivalentemente che ogni f a -1 di f(y) è uguale ad y, per ogni y appartenente a B.
Graficamente è rappresentata la funzione che va da A a B e la sua inversa che va invece da B ad A.
Quindi se in f A è il dominio e B è l'insieme di arrivo
in f a -1 si invertono.
L'insieme B risulta essere dominio di f a -1 e A l'insieme di arrivo.
Se consideriamo l'immagine di destra abbiamo f che va da {a} a {3},
{b} va in {1} e {c} va in {2}.
In f a -1 le frecce invece si invertono:
{1} va in {b}, {2} va in {c} e {3} va in {a}.
Possiamo denotare, come abbiamo fatto per la funzione, anche la sua immagine inversa.
Data una funzione da A in B, se Y è sottoinsieme di B,
l'immagine inversa di Y mediante, indicata
con f a -1 di (Y), è il sottoinsieme di A definito dalla funzione inversa.
Quindi l'insieme di tutte quante le x appartenenti ad A
tale che l'immagine appartenga ad Y.
Andiamo a rivedere gli esami già considerati precedentemente.
Presa la prima funzione f(x)=2x+1,
per essere invertibile abbiamo detto che deve essere prima di tutto biettiva,
ma per essere biettiva deve essere iniettiva e suriettiva.
La funzione considerata sicuramente è iniettiva, infatti se considerati due elementi distinti
moltiplichiamo entrambi per 2 e ad essi aggiungiamo 1,
sussiste ancora la disuguaglianza tra i due elementi e le immagini che ne derivano sono distinte.
Inoltre è suriettiva perché, fissato y appartenente all'insieme dei numeri reali R,
bisogna risolvere l'equazione y=2x+1 ricavando x e ottenendo x= (y-1)/2.
La funzione inversa è quella che, a y in R, associa l'elemento (y-1)/2
espressa nei due modi evidenziati.
E' verificato che anche gli altri esempi di funzioni proposte risultano essere biettive e quindi invertibili.
Ciò è facilmente dimostrabile attraverso lo svolgimento degli esercizi.
L'unica funzione non invertibile tra gli esempi proposti è l'ultima, la n.4
perché non biunivoca dato che non risulta essere iniettiva.
Presi infatti gli elementi {-3} e {4} essi sono entrambi elementi di Z a cui corrisponderà 0.
Non essendo iniettiva non può essere biunivoca e quindi non invertibile.