In questa lezione introdurremo le funzioni matematiche e le loro proprietà.
Iniziamo con il dire che il concetto di funzione è un concetto fondamentale in matematica e non solo;
nasce dal concetto di corrispondenza fra grandezze,
tale corrispondenza può essere rilevata in diversi modi:
1. da un rilevamento empirico,
ad esempio se andiamo a correlare la temperatura in un certo lungo in un dato intervallo di tempo.
o se consideriamo una quotazione giornaliera del Dollaro in Euro in un dato periodo.
Dunque corrispondenze tra grandezze temporali, da una parte legate alla temperatura e dall'altra di tipo economico.
2. attraverso delle formule, dette "leggi",
ad esempio se consideriamo la legge che esprime lo spazio percorso nel tempo da un corpo in caduta libera
essa è espressa attraverso la legge del moto uniformemente accellerato.
Stiamo facendo corrispondenza tra diverse grandezze
come lo spazio e il tempo.
Ancora, possiamo introdurre una legge
per mettere in relazione i lati x, y di un rettangolo di area unitaria
che ci esprima il fatto che x per y sia uguale ad 1.
Mettiamo per l'appunto in relazione l'altezza e la base di un rettangolo da cui si ricava che: y è uguale ad 1 su x.
Queste espresse sono idee intuitive delle funzioni.
L'importanza delle funzioni si vede ovunque:
in informatica dove i computer, che sono delle macchine,
non saprebbero cosa mostrare sullo schermo se non ricevessero l'input dalla tastiera
e attraverso dei meccanismi restituissero al monitor, alla stampante, allo scanner, un certo output;
in economia dove tutti gli andamenti economici delle borse sono descritti attraverso dei grafici di funzione;
e anche in fisica dove, per esempio, i termostati prendono in input la temperatura in un certo punto
e danno in output il comando che permette di accendere o spegnere il sistema di riscaldamento.
Se non esistesse questa legge di base i riscaldamenti non verrebbero attivati!
Intuitivamente possiamo immaginare la funzione come una sorta di scatola,
un apparecchio dotato di input e output,
Prende un oggetto come input, effettua delle operazioni su questo input, e restituisce un oggetto come output.
Questa operazione viene effettuata in maniera univoca:
se forniamo sempre lo stesso input, la scatola ci restituirà sempre lo stesso output.
Questa scatola può essere rappresentata come in figura.
Per noi "oggetto" da questo punto in poi, sarà sempre un "numero reale".
La funzione è quindi una macchina che prende un numero come input e lo trasforma in un numero come output.
Cerchiamo di formalizzare questa idea intuitiva
parlando dell'idea intuitiva di funzione reale, di variabile reale.
Consideriamo due insiemi A e B, sottoinsiemi di numeri reali.
Diremo che una funzione f di A in B
in realtà non è altro che una legge
che fa corrispondere ad un elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Questo si indica con questa scrittura: f è la legge, due punti e i due insiemi con una freccia che va dagli elementi di A agli elementi di B,
oppure con una scrittura del tipo: y = f(x), intendendo che ad ogni elemento di x appartenente all'insieme di A corrisponde, tramite la funzione f, l'elemento y=f(x) appartenente a B.
Parliamo di variabile reale perché in realtà la nostra x, che è la variabile,
appartiene ad A sottoinsieme dei numeri reali
e in realtà il nostro f di x non è altro che un valore di B sottoinsieme di R, quindi un numero reale.
Si dice "funzione reale" dove B è l'insieme dei valori assunti da f in corrispondenza di x.
Osserviamo subito che se ad un elemento di A
corrispondessero due diversi elementi y1 e y2,
allora non sarebbe una funzione!!!
Nella definizione che abbiamo dato prima, abbiamo detto appunto che ad un elemento di A deve corrispondere uno ed un solo elemento di B.
Se faccio corrispondere due elementi diversi non posso parlare di funzione,
mentre è una funzione quella in cui sono presenti due elementi distinti
che vengono associati con lo stesso elemento.
Questa è una funzione possibile e godrà di determinate proprietà.
Torniamo a parlare momentaneamente della notazione della legge.
In questa legge possiamo vedere che A è chiamato il "dominio" o "insieme di definizione" della funzione;
x è l'argomento di f, detta anche "variabile indipendente", ovvero la variabile a cui possiamo associare un qualsiasi numero;
y o f(x) è chiamata "immagine" di x mediante f,
è il risultato che si ottiene andando ad operare con questa f su x;
il simbolo f() indica invece un complesso di operazioni che si possono effettuare su x per ottenere y o f di x.
Ripensando all'idea intuitiva di prima potremo dire che x è il nostro input mentre f(x) è il nostro output
e quindi immagine di x.
Se questo complesso di operazioni da fare su x per restituirci l'immagine
riguardano le quattro operazioni algebriche
allora la funzione si dice "funzione algebrica".
Per esempio se scriviamo f(x)=x alla terza meno x al quadrato meno 5x meno 3 abbiamo a che fare con delle potenze, dei prodotti e delle differenze
sono tutte operazioni di base.
Quando invece il complesso delle operazioni
non è di tipo algebrico poiché non riguarda le quattro operazioni, si parla di "funzione trascendente".
Ad esempio f(x) uguale a logaritmo di x non riguarda un'operazione,
ma è una funzione elementare che analizzeremo in seguito.
Oppure f(x) uguale a seno di x più coseno di x.
Ciò che dobbiamo ancora precisare è che la y è chiamata "variabile dipendente"
dalla variabile "indipendente", ovvero dalla x.
Ad x associamo un qualsiasi valore, attraverso la f applicata ad x otteniamo un valore diverso, la y
che dipende strettamente dal valore assegnato ad x stesso.
Per esempio se consideriamo le seguenti funzioni
abbiamo che alla funzione n.1 f(x)=2x+1
fornisco x in input, opero il prodotto di x per 2 e poi lo sommo ad 1, ottengo f(x).
Se il mio input è x=1, il mio output sarà dato dalla sostituzione del valore 1 alla x.
Risolvendo: 2x1=2, 2+1=3. Il mio f(1) sarà uguale a 3, ovvero il mio output.
Per la funzione n. 2 f(x)=1/x bisogna calcolare l'inverso:
do in input x = 3, il mio output f(3) sarà uguale ad 1/3.
La funzione n.3 f(x)=radice quadrata di x,
quindi una potenza elevato ad 1/2,
do come input x=4
f(4) sarà uguale alla radice di 4, ovvero 2.
Nell'ultima funzione, la n.4
prendo x come input e valuto: se x è un intero
la funzione mi restituisce 0,
se non è un intero ma un reale o un razionale,
avrò come output 1.
Ad esempio con x=-3 non intero
f(-3) sarà uguale a 0.
Se faccio f(radice di 2) il risultato sarà uguale ad 1.
Abbiamo parlato di dominio di una funzione dell'insieme A e dell'immagine dell'elemento x.
In realtà è possibile definire anche l'immagine di un sottoinsieme di X.
Consideriamo un sottoinsieme X di A,
indichiamo con il simbolo f(X) l'immagine del sottoinsieme di X attraverso f.
Questo sarà l'insieme di tutti quanti gli y in B
perché abbiamo detto che f(x), quando x è un elemento, sono dei risultati e in questo caso i risultati risiederanno in B.
Quindi f(X) sarà l'insieme di tutti quanti gli elementi appartenenti a B
tali che esiste una X che sta in A
per cui y è uguale ad f(x).
Ovviamente f(X) è un sottoinsieme di B.
Di conseguenza, preso un sottoinsieme di A, considero tutti gli elementi di questo sottoinsieme,
calcolo tutti i risultati e ottengo l'immagine si X.
L'insieme f(A), ovvero l'immagine di un particolare sottoinsieme di A mediante f,
si chiama codominio di f, ovvero l'insieme dei valori assunti da f in corrispondenza dei valori di x scelti in A.
Dobbiamo inoltre dire che il codominio può coincidere con B, ovvero f(A) è un sottoinsieme di B.
Esso può essere strettamente incluso in B o essere uguale a B.
Considerando gli esempi esaminati in precedenza
(riprenderemo questo argomento nel dettaglio quando studieremo le funzioni elementari)
possiamo dire che nell'esempio di funzione n.1,
ad x possiamo associare un qualsiasi numero reale.
Il dominio di questa funzione, ovvero l'insieme nel quale possiamo scegliere la x,
dove x può essere un qualsiasi numero reale,
è l'insieme A.
Quando vado a considerare i valori assunti durante la sostituzione con i numeri reali
ottengo sempre numeri reali e dunque anche il codominio coincide con R.
Considerando la funzione n.2 f(x)=1/x
x può essere un qualsiasi numero reale, escluso lo zero dato che si trova al denominatore.
Il dominio, ovvero l'insieme in cui scelgo il valore della x,
è tutto l'insieme dei numeri reali R escluso lo zero.
Quando calcoliamo i corrispondenti valori di 1/x,
i valori che otterremo saranno sempre numeri reali escluso lo 0.
Il codominio sarà quindi tutto l'insieme dei numeri reali R escluso lo zero.
Considerando l'esempio n.3 f(x)= radice quadrata di x
sappiamo che la radice di x deve essere un numero reale
pertanto l'insieme in cui prendo i valori della x, dovrà essere l'insieme dei numeri reali con x maggiore o uguale di zero.
La radice quadrata è sempre un numero positivo
perciò la y sarà sempre un numero maggiore o uguale di zero.
Per quanto riguarda la funzione n. 4
la x può essere zero, se appartenente all'insieme Z dei numeri interi, oppure un qualsiasi altro numero.
L'insieme dove scegliere le x è quindi tutto quanto R,
mentre i valori della funzione,
scelto un numero reale,
sono sempre o 0 o 1.
Il codominio, in questo caso, è l'insieme (0;1).
Importante è la rappresentazione cartesiana della funzione.
Una funzione può essere rappresentata attraverso un grafico
costruito su due assi perpendicolari che si intersecano in un punto O, detto "origine degli assi".
Si individua un verso di percorrenza sulle due rette tracciate,
una direzione positiva ed un'unità di misura.
Chiamiamo asse delle ascisse, o asse x, una delle due rette
e l'altra asse delle ordinate, o asse y.
Ad ogni numero reale x corrisponde in modo biunivoco un punto P1 dell'asse delle x,
scelto in modo tale che la lunghezza del segmento 0P1 sia uguale ad x.
Analogamente ad ogni numero reale y si associa
un punto P2 dell'asse delle y, tale che la lunghezza del segmento 0P2 sia uguale ad y.
Si tracciano due rette parallele agli assi cartesiani x ed y
che passino rispettivamente per P1 e P2.
Queste rette si incontreranno nel punto P che corrisponde in modo biunivoco alle rette x e y.
Se abbiamo assegnato una funzione f, in corrispondenza delle coppie di numeri reali ottenute (x;f(x))
corrisponderà un punto individuabile all'interno del piano cartesiano.
Unendo questi punti otterremo il grafico della funzione
ovvero il grafico delle coppie (x;f(x)).
Consideriamo ad esempio la funzione f(x)=radice di x.
Per costruire il grafico della funzione radice quadrata, dobbiamo far riferimento ad una tabella
nella quale vengono assegnati dei valori alla x
per cui applicata la funzione f(x)=radice di x è possibile calcolare i risultati.
Assegniamo ad x valore 0, sostituiamo nella funzione ottenendo radice di 0 quindi uguale a zero,
otteniamo la coppia (0;0) che individua sul piano cartesiano il punto A, coincidente con l'origine.
Assegniamo ad x valore 1, sostituiamo f(x)=radice di 1, quindi 1
otteniamo la seconda coppia (0;1) indicata con la lettera B e disegnata sul grafico in corrispondenza.
Successivamente abbiamo assegnato valore 4 alla x (avremmo potuto assegnare anche valore 3), otteniamo nella funzione radice di 4 o radice di 3 e come risultato 2 o radical 3,
indichiamo con la lettera C la nuova coppia di numeri ottenuta (4;2) o (3;radice di 3).
Infine con il valore della x=16, corrispondente al valore della y=4, otteniamo l'ultimo punto indicato con la lettera D.
Uniamo i punti calcolati e otterremo il grafico della funzione f(x)=radice di x.