Esaminiamo ulteriori proprietà dell'insieme R che discendono dall'assioma 4,
elemento innovativo introdotto nella lezione sull'insieme dei numeri reali R.
Ricordiamo quali sono le proprietà fondamentali dell'insieme dei numeri reali
che accomunano questo insieme a quello dei numeri razionali Q.
Esso è infinito. E' totalmente ordinato in maniera densa
(argomento già trattato a proposito dell'insieme Q)
ovvero scelti due elementi e non due insiemi che sussistono in relazione tra loro in modo tale che l'uno è minore o uguale dell'altro,
si può trovare sempre un numero reale o razionale che si frappone tra i due.
Abbiamo detto che l'assioma 4 gode anche della proprietà di completezza della retta
che a sua volta genera ulteriori proprietà.
Il fatto che l'insieme dei numeri reali R sia un insieme completo
fa sì che quando si rappresentano i numeri reali si parla spesso di "retta reale"
Tale identificazione è lecita in quanto esiste una corrispondenza 1 ad 1
tra i numeri reali e i punti di una retta orientata,
intendendo per retta orientata una retta su cui si è fissato un'origine
e un verso di percorrenza positivo.
La prima proprietà che scaturisce dalla completezza di R
è la densità di Q in R.
Dire che Q è denso in R significa dire che posti due numeri razionali
in relazione tra loro tale che a è minore di b,
esiste sempre un numero reale esistente tra essi.
Quindi a minore di r minore di b
dove r è il nostro numero reale.
Si deduce ancora di più la densità dell'insieme degli irrazionali, dell'insieme R-Q, in R.
Scelti due numeri razionali con a minore di b,
è sempre possibile trovare un numero reale che si interpone tra di essi.
Se chiamiamo j questo reale, allora avremo a minore di j minore di b.
La proprietà che questi teoremi esprimono è che sia l'insieme dei numeri razionali che dei numeri irrazionali
sono entrambi degli insiemi che popolano in modo infinito un qualsiasi intervallo aperto ]a, b[ di R.
Riassumendo le proprietà degli insiemi numerici introdotti, possiamo dire che
N è un sottoinsieme di Z, che a sua volta è un sottoinsieme di Q, che è un sottoinsieme di R (N⊆Z⊆Q⊆R),
mentre l'insieme dei numeri irrazionali R-Q è solo un sottoinsieme dei numeri reali (R-Q⊆R).
Per quanto riguarda N abbiamo visto che: non esiste l'opposto -n
perché n è formato solo dai numeri positivi, non negativi, incluso lo zero;
non esiste il reciproco a meno che n non sia uguale ad 1,
perché l'inverso (o reciproco) di 1 è uguale ad 1 stesso.
Per quanto riguarda l'insieme dei numeri interi relativi Z:
esiste l'opposto di ogni elemento, indicato con -z;
non esiste il reciproco (o inverso), a meno che z non sia uguale ad 1.
Nell'ambito dei numeri interi esiste quindi l'inverso solo dell'unità 1.
Per quanto riguarda l'insieme dei numeri razionali Q:
esiste sia l'opposto che l'inverso di ogni razionale;
è ordinato in maniera densa,
ovvero presi due elementi, esiste sempre un numero razionale (o infiniti numeri razionali) che può essere inerito tra di essi; valgono le proprietà di densità in R, cioè Q è denso in R; Q non è completo. R invece ha tutte le proprietà di Q e in più, la proprietà di completezza.