Una volta introdotti i numeri razionali, siamo nelle condizioni di poter introdurre i numeri reali.
Definiremo allora l'insieme dei numeri reali come l'insieme costituito dai numeri razionali e dai numeri irrazionali.
Esistono vari modi per poter introdurre tale insieme, qui abbiamo scelto di introdurli assiomaticamente,
cioè definendo, come abbiamo fatto per gli altri, le operazioni che caratterizzano questo insieme,
introducendo gli assiomi relativi a queste operazioni che ne identificano le relative proprietà.
Il primo assioma dei numeri reali
descrive la proprietà della somma,
una delle operazioni che possono essere definite all'interno dei numeri reali.
Come abbiamo già detto per gli altri insiemi numerici, la somma non è altro che un'associaizone
laddove ad una coppia di numeri reali, viene associato un altro numero reale.
La somma gode della: commutatività; dell'associatività
(in qualunque modo andiamo ad associare i numeri tra loro, il risultato non cambia);
della presenza dell'elemento neutro (come per i numeri naturali) chiamato zero
che non modifica il valore di alcun numero naturale
(se sommiamo 0 ad a, otteniamo sempre a) ed è dimostrato formalmente come elemento unico;
e infine dalla quarta proprietà della somma, ovvero l'esistenza dell'opposto,
cioè per ogni numero reale possiamo individuare un elemento, denotato con -a,
tale che, se sommato al suo elemento di partenza,
ci restituisce l'elemento neutro, a+(-a)=0.
Le prime tre proprietà dell'assioma numero 1 sono soddisfatte solo all'interno dell'insieme dei numeri naturali N,
mentre l'insieme dei numeri interi Z e l'insieme dei numeri razionali Q godono di tutte e quattro le proprietà dell'assioma 1.
Il secondo assioma riguarda le proprietà relative ad una seconda operazione,
introducibile all'interno dell'insieme dei numeri reali,
l'operazione di prodotto (già introdotta per i numeri interi Z, per i numeri naturali N e per i numeri razionali Q).
Esso associa due coppie di numeri reali che restituiscono un numero naturale.
Le proprietà sono: commutatività; associatività;
presenza dell'elemento neutro
chiamato "unità" che lascia invariato il valore di un qualsiasi numero reale
(se facciamo il prodotto tra l'unità e un qualsiasi elemento reale, otteniamo sempre lo stesso elemento reale);
esistenza dell'opposto rispetto al prodotto
(l'opposto rispetto alla somma lo avevamo denotato con il simbolo -a)
chiamato "reciproco" (o inverso) denotato con il simbolo a elevato a -1
e avente la proprietà che a per a elevato a -1 ci dà sempre 1, ovvero l'unità,
elemento neutro rispetto al prodotto;
l'ultima proprietà, quindi la quinta, riguarda la distributività
(di cui avevamo già parlato quando abbiamo trattato gli insiemi N, Z e Q).
Per quanto riguarda le proprietà degli assiomi A1 e A2, esse sono tutte soddisfatte anche dall'insieme Q,
mentre l'insieme dei numeri interi Z soddisfa entrambi gli assiomi
eccetto la proprietà riguardante l'esistenza del reciproco.
Per quanto riguarda Z siamo in grado di definire un opposto rispetto alla somma,
ma non un opposto rispetto al prodotto.
Per completezza ricordiamo che un qualunque insieme su cui sia definita un'operazione
che gode dell'assioma A1 è detto gruppo commutativo.
Qualunque insieme su cui sia definita un'operazione che soddisfa gli assiomi A1 e A2, invece, è detto corpo commutativo o campo.
L'insieme Q risulta quindi essere un corpo commutativo o un campo.
Il terzo assioma riguarda le proprietà relative all'ordinamento che si può trovare all'interno dell'insieme dei numeri reali R.
All'interno dell'insieme dei numeri reali possiamo introdurre una relazione di ordine totale
(una relazione d'ordine è detta "totale" quando, scelti due elementi di R, è sempre possibile stabilire in che relazione si trovano l'uno con l'altro,
se a è minore o uguale di b, oppure b è minore o uguale di a).
La prima proprietà riguarda la compatibilità dell'ordinamento rispetto alla somma,
cioè se ho due elementi reali che sono tra loro in relazione tale che a è minore o uguale di b,
e andiamo a sommare sia a destra che a sinistra la stessa quantità,
allora la relazione permane.
Così anche per quanto riguarda il prodotto,
cioè se tra due elementi reali sussiste una relazione tale che a è minore o uguale di b,
e andiamo a moltiplicare a destra e a sinistra la stessa quantità positiva,
non negativa, la relazione continua a permanere.
Quello che possiamo dire è che non solo l'insieme dei numeri razionali
soddisfa l'assioma A1 e A2, ma anche l'assioma A3.
Un insieme su cui sono definite due operazioni ed un ordinamento
che soddisfano gli assiomi A1, A2 e A3, è detto "corpo commutativo ordinato".
Pertanto l'insieme Q è un corpo commutativo ordinato.
Per completezza ricordiamo che il simbolo a minore o uguale di b (a≤b) sta ad indicare
che a o è minore strettamente di b, oppure a è uguale a b,
o anche che b è maggiore o uguale di a (b≥a).
La scrittura a minore stretto di b sta ad indicare che a è minore o uguale di b,
però con a diverso da b (a≠b).
Da quello che abbiamo visto introducendo i primi tre assiomi
è che in realtà abbiamo già un esempio di un insieme su cui sono definite due operazioni
ed un ordinamento che li soddisfano,
ovvero l'insieme dei numeri razionali.
Il vero elemento innovativo introdotto parlando dei numeri reali
è espresso attraverso l'assioma 4, detto anche "assioma di completezza".
L'assioma di completezza afferma che per ogni coppia di sottoinsiemi A e B dell'insieme R,
tali che ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B,
in qualsiasi modo prendiamo questi insiemi che sussistono in questa relazione,
sarà sempre possibile trovare un elemento, ammesso che esso sia reale,
maggiore di tutti gli elementi in a e minore di tutti gli elementi in b.
L'elemento "c" individuato viene chiamato "elemento separatore".
Nel caso in cui i sottoinsiemi A e B dell'insieme dei numeri reali R siano tali che la loro unione dia tutto quanto R,
allora è dimostrata l'unicità di questo elemento.
Questa è la vera proprietà innovativa di R rispetto all'insieme dei numeri razionali Q,
infatti formalmente si dimostra che l'insieme Q non è completo.
Mentre l'insieme R, godendo dell'assioma di completezza, è detto completo,
l'insieme dei numeri razionali Q non è invece completo.
Per dimostrare la non completezza di Q
bisogna prendere due sottoinsiemi
che siano sottoinsiemi di Q (quindi numeri razionali)
e far vedere che l'elemento di separazione esiste ma non è un numero razionale.
L'assioma di completezza richiede che non solo debba esistere l'elemento di separazione,
ma che esso appartenga ad R, all'universo di cui A e B sono sottoinsiemi.
I sottoinsiemi che si utilizzano per dimostrare la non completezza di Q
sono l'insieme A costituito da tutte le x ≤ 0
e da tutte le x maggiori strettamente di 0 il cui quadrato sia minore di 2.
Possiamo rappresentarlo graficamente sulla retta orientata
dove A si troverà tutto spostato alla sinistra,
mentre B costituito da tutte le x razionali
(sottoinsieme quindi di Q)
tali che il quadrato sia maggiore o uguale di 2, si troverà sulla destra.
A è costituito dalle x appartenenti all'insieme Q minori o uguali di 0, unite all'insieme delle x appartenenti a Q con valore maggiore di 0 e quadrato minore di 2.
B a sua volta è costituito dalle x razionali maggiori o uguali di 0 e il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2.
Questi due insiemi sono tali che l'intersezione tra A e B è vuota, mentre l'unione ci dà tutto l'insieme dei numeri razionali Q.
Ciò che si dimostra è che l'elemento di separazione in realtà esiste
e sarebbe quell'elemento tale che il quadrato sia uguale a 2,
però questo elemento il cui quadrato è uguale a 2 sarebbe radical 2,
ma poiché radical 2 non è un numero razionale l'insieme Q non risulta essere completo .