Parleremo ora dell'insieme dei numeri reali R.
Per parlare dei numeri reali R abbiamo bisogno di introdurre prima di tutto i numeri irrazionali, indicati con R-Q,
sottoinsieme dei numeri reali R.
Analizzeremo ora le principali proprietà di questo insieme.
Nella lezione precedente avevamo parlato degli insiemi numerici N, Z e Q:
N è l'insieme dei numeri naturali sottoinsieme di Z, insieme dei numeri interi,
a sua volta sottoinsieme dei numeri razionali Q, cioè numeri esprimibili come rapporti di numeri interi.
Nello schema mostrato nella lezione precedente mancava ancora da rappresentare graficamente l'insieme dei numeri irrazionali e l'insieme R,
il quale, come possiamo vedere, risulta essere un sovrainsieme dei numeri irrazionali e dei numeri razionali.
Parliamo dunque dei numeri irrazionali.
Una prima riflessione può essere fatta sul perché i numeri razionali, storicamente parlando, non sono più stati sufficienti a descrivere la realtà.
La necessità di introdurre i numeri reali nasce dall'esigenza di poter risolvere equazioni del tipo x al quadrato uguale a 2.
Se provassimo a risolvere un'equazione di questo tipo
vedremo che non è possibile trovare un numero razionale,
ovvero un numero esprimibile attraverso una frazione,
il cui quadrato è uguale a 2.
Questa risulta essere una prima debolezza dei numeri razionali.
Anticamente si pensava, inoltre, che tutti i rapporti tra i segmenti fossero commensurabili,
cioè che il rapporto tra le lunghezze di due segmenti qualsiasi fosse esprimibile mediante un numero razionale
Questa concezione venne meno quando si osservò che,
se prendiamo un quadrato, il rapporto tra la lunghezza della diagonale e il suo lato
non è esprimibile mediante un numero razionale, bensì
attraverso l'elemento radical 2 non inseribile né all'interno dell'insieme N, né in Q e né tanto meno in Z.
Formalmente i pitagorici dimostrarono che radical 2 non è un numero razionale,
infatti non esiste alcun numero razionale il cui quadrato risultasse essere pari a due.
Quindi, poiché non esiste alcun numero razione il cui quadrato è pari a 2,
bisognava introdurre una nuova classe di oggetti: i numeri irrazionali.
L'insieme dei numeri irrazionali, che non appartengono dunque all'insieme dei numeri razionali,
si indica con il simbolo Q elevato a c (complemento di Q)
o analogamente con il simbolo R - Q
(anche se attualmente non abbiamo ancora dato una definizione di R).
All'interno dell'insieme dei numeri irrazionali è possibile operare la distinzione tra numeri "algebrici" e numeri "trascendenti".
Un esempio di irrazionale algebrico è radical 2.
Sono irrazionali algebrici tutti quei numeri irrazionali che possono essere ottenuti applicando le quattro operazioni fondamentali aritmetiche,
infatti radical 2 non è altro che una potenza di 2 elevato ad un numero razionale, in particolare elevato ad 1/2.
I numeri irrazionali saranno trascendenti quando
questi non possono essere ottenuti mediante l'applicazione ripetuta delle operazioni fondamentali.
Sono esempi di irrazionali trascendenti il logaritmo di 2,
il numero π (pi greco) con valore approssimato di 3,1415,
o ancora il numero di Nepero (e), anche lui approssimato a 2,7182 ~infinite cifre.