Parlando degli insiemi numerici
abbiamo introdotto anche l'operazione di potenza.
Ora ci occuperemo di sintetizzare le proprietà delle potenze
poiché importanti e non sempre conosciute.
Consideriamo due numeri interi l e k,
appartenenti all'insieme Z, ed m ed n appartenenti invece all'insieme dei numeri naturali N.
La prima proprietà afferma che il prodotto di due potenze avente la stessa base ed esponente differente,
è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Analogamente, se abbiamo il rapporto tra due potenze con base uguale ed esponente differente,
otterremo come risultato una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
In questo caso stiamo considerando un rapporto, quindi l alla m diviso l alla n
e poiché al denominatore non possiamo avere un numero pari a zero, dobbiamo imporre che l sia diverso da 0.
Un'ulteriore proprietà è quella di "potenza di potenza".
La potenza di una potenza è una potenza avente la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti
Ricapitolando: quando andiamo a fare il prodotto di due potenze
gli esponenti si sommano;
quando andiamo a fare il rapporto tra due potenze, gli esponenti si sottraggono;
per la potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano.
Invece di Bach
Consideriamo invece il caso in cui le basi siano distinte.
Il prodotto di due potenze aventi base diversa, ma stesso esponente
è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Infine le ultime tre proprietà.
Consideriamo il rapporto tra potenze che hanno
basi diverse e lo stesso esponente.
Avremo una potenza che ha per base il rapporto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Dato che stiamo considerando ancora una volta un rapporto
e una divisione è impossibile per 0, imponiamo k diverso da 0.
Infine esaminiamo la potenza con base l ed esponente negativo -n.
l elevato alla -n è uguale al rapporto tra 1 e la potenza l alla n.
In sostanza la potenza passa al denominatore, mentre il segno dell'esponente diventa positivo.
Anche qui con l≠0 dato che l si troverà al denominatore.
Ancora: supponiamo che l'esponente sia negativo e come base, al posto di un numero intero, abbiamo un numero razionale.
In questo caso la potenza con base un numero frazionale ed esponente negativo
sarà uguale a quella potenza che ha numeratore invertito con il denominatore
(invece di l su k, abbiamo k su l)
e segno dell'esponente cambiato.
Per la proprietà n.6, la potenza si distribuisce tra numeratore e denominatore
quindi otterremo k alla n fratto l alla n.