L'insieme dei numeri razionali Q è dato dall'insieme di tutti quegli elementi
costituiti dal rapporto tra z ed n, con z numeratore ed n denominatore.
z è un numero intero relativo, mentre n un numero naturale positivo non nullo
(non avrebbe senso effettuare una divisione per zero).
In altri termini possiamo parlare dell'unione dei due sottoinsiemi:
l'insieme Q+ costituito da tutti i rapporti
in cui il numeratore è un numero intero positivo;
invece Q- è costituito da tutti i numeri interi negativi.
Da come si vede graficamente Q risulta essere un sovrainsieme di Z;
gli insiemi N e Z sono dunque dei sottoinsiemi di Q.
Abbiamo già detto che è inutile considerare una frazione con denominatore 0
invece è possibile valutare una frazione con numeratore pari a 0.
Una frazione che ha numeratore 0, ha come risultato sempre 0.
Una frazione è nulla se, e soltanto se, il suo numeratore è nullo:
0 diviso 3 è 0, 0 diviso 2 è 0, il risultato è sempre uguale a zero.
Anche all'interno dell'insieme dei numeri razionali è possibile parlare di somma e prodotto
e del concetto rispettivamente di "opposto" e di "reciproco".
L'elemento simmetrico rispetto alla somma
è l'elemento opposto.
Considerato un razionale rappresentato nella forma z su n,
il suo opposto sarà lo stesso numero cambiato di segno.
In particolare il numeratore avrà segno cambiato.
Conveniamo anche qui che l'opposto del razionale di 0 è sempre 0 stesso.
Oltre l'opposto, abbiamo detto che possiamo parlare di un ulteriore elemento,
l'elemento reciproco di Q per quanto riguarda l'operazione di prodotto.
Il reciproco di un numero razionale z su n,
si ottiene invertendo il numeratore con il denominatore.
Verrà indicato con il simbolo 1 su q
e, se questo è positivo (rappresentato come z su n),
il reciproco 1 su q sarà uguale ad n su z;
se invece q risulta essere un numero negativo,
il suo reciproco sarà -n su -z.
La proprietà del reciproco in Q è che
il prodotto di un elemento con il suo reciproco dà l'elemento neutro del prodotto, cioè 1.
Quindi elemento simmetrico rispetto al prodotto.
Nell'insieme dei numeri naturali N non abbiamo elementi simmetrici;
nell'insieme dei numeri interi relativi Z è presente l'elemento simmetrico rispetto alla somma, l'opposto;
nell'insieme dei numeri razionali Q, abbiamo l'elemento simmetrico sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto,
l'opposto ed il reciproco.
L'operazione di somma su Q è un'operazione abbastanza complessa a livello formale.
Al di là del formalismo, per eseguire la somma di due elementi razionali,
bisogna calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m).
Supponiamo di voler eseguire la somma di 1/3+2/7
procediamo a calcolare il minimo comune multiplo tra 3 e 7, ovvero 21,
Dividiamo 21 diviso 3, uguale a 7; moltiplichiamo 7 per 1, uguale a 7,
similmente 21 diviso 7, uguale a 3; moltiplichiamo 3 per 2, otteniamo 6.
andiamo a sommare 7 e 6, otteniamo 13/21.
Le proprietà della somma su Q, come per l'insieme Z, sono la proprietà associativa, la proprietà commutativa, la presenza dell'elemento neutro 0 rispetto alla somma,
e l'elemento simmetrico, ovvero l'opposto.
Andiamo, invece, ad esaminare ora il prodotto tra numeri razionali.
Supponiamo di avere due numeri razionali (y/m e z/n),
il prodotto si ottiene moltiplicando tra loro i numeratori
e moltiplicando tra loro i denominatori.
Se vogliamo effettuare il prodotto tra 1/3 e 2/7
moltiplichiamo 1 x 2 = 2 e 3 x 7 = 21, il risultato è 2/21.
Per quanto riguarda le proprietà del prodotto su Q, abbiamo sempre l'associatività, la commutatività
l'esistenza dell'elemento neutro e, rispetto a Z,
l'elemento simmetrico del prodotto (quello introdotto prima), il reciproco
e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Un'operazione di rilevante importanza è quella del confronto fra frazioni.
Supponiamo di avere due frazioni:
se esse hanno denominatore uguale è facile confrontarle,
confrontando i numeratori sarà maggiore quella con denominatore maggiore;
il problema sorge quando hanno numeratore e denominatore differenti.
In questo caso, per confrontare le due frazioni,
dobbiamo ridurle allo stesso denominatore.
Una volta ridotte, possiamo confrontare i numeratori.
Vediamo un esempio di come si riducano due frazioni allo stesso denominatore:
supponiamo di avere le frazioni 1/7 e 3/4,
per capire quale delle due è più grande
effettuiamo il minimo comune multiplo (m.c.m) tra i due denominatori, in questo caso 28,
riscriviamo le frazioni con al denominatore 28 dopo aver eseguito i calcoli: "28:7=4, 4x1=4"
(la prima frazione evidenziata sarà equivalente alla prima cerchiata)
e "28:4=7, 7x3=21", otteniamo 21/28
(la seconda frazione 3/4 è equivalente a 21/28).
Le due nuove frazioni ottenute sono equivalenti alle precedenti, ma con lo stesso denominatore
e quindi siamo in grado di confrontarle osservando i loro numeratori.
Dato che la seconda ha come numeratore 21, che è maggiore del numeratore quattro della prima,
allora la frazione 21/28 (corrispondente a 3/4) è maggiore di 4/28,
di conseguenza 3/4 è maggiore di 1/7.
Per quanto riguarda l'ordinamento su Q, possiamo vedere che esiste una differenza con l'insieme dei numeri N e Z,
L'insieme dei numeri razionali Q è infinito e totalmente ordinato,
però non è discreto.
Ciò significa che non è sempre possibile individuare il successivo del numero razionale.
Se considero due numeri razionali è sempre possibile trovare un numero razionale
che segue il primo e precede il secondo, ovvero infiniti numeri razionali
che risultano essere intermedi tra i numeri razionali presi in esame.
Dunque possiamo dire che Q è ordinato in maniera densa,
Prendendo in esame 2 e 3, sappiamo che tra loro non esistono altri numeri naturali,
ma posso affermare invece che tra questi due numeri esistono infinite frazioni
e ciò esprime la "densità" di Q.
Vediamo un esempio pratico:
date le frazioni 1/7 e 3/4 è sempre possibile trovare infinite frazioni tra essi.
La loro media aritmetica risulta essere un numero compreso tra loro,
infatti, sommati i due numeri e poi divisi per 2, otteniamo 25/56
che risulta essere intermedio tra i due numeri frazionali 1/7 e 3/4.
Non solo però 25/56, possiamo trovare infatti infiniti numeri frazionali compresi tra 1/7 e 3/4
per questo si dice "denso".