Introduciamo adesso i numeri interi relativi.
L'insieme dei numeri interi relativi è denotato con il simbolo Z
ed è costituito dagli elementi {0, -1, +1, -2, +2,...} e così fino all'infinito.
Esso può essere visto come l'unione di tre insiemi:
- lo zero;
- l'insieme Z+, è costituito dai numeri naturali positivi, escluso lo zero;
- e dall'insieme Z-, costituito da tutti i numeri naturali negativi, escluso lo zero.
Possiamo osservare che Z+ coincide con l'insieme N dei numeri naturali,
se ad esso aggiungiamo lo zero,
per cui l'insieme dei numeri interi relativi Z contiene al suo interno l'insieme dei numeri naturali N.
N può essere visto come un sottoinsieme di Z come è evidente in figura.
Come per l'insieme dei numeri naturali,
l'insieme Z è infinito, con infiniti elementi;
è totalmente ordinato ovvero è sempre possibile stabilire, dati due elementi, quale è il maggiore e quale è il minore dell'altro;
è ordinato in modo discreto, cioè possiamo sempre individuare
un successore e un precedente per ogni elemento.
Queste sono proprietà già individuate all'interno dell'insieme dei numeri naturali N,
le differenze dell'insieme Z dei numeri interi relativi stanno invece
nel fatto che, mentre nell'insieme dei numeri naturali N avevamo un primo elemento individuato nello 0,
nell'insieme dei numeri interi relativi Z non è presente il primo elemento
e nel fatto che, rispetto ai numeri naturali N, nell'insieme dei numeri Z possiamo considerare anche i numeri negativi.
Parlando dei numeri interi relativi possiamo introdurre quindi la nozione di "opposto" non presente per i numeri naturali N.
Che cos'è l'opposto di un qualsiasi numero intero?
L'opposto di z, indicato con il simbolo -z, non è altro che il prodotto di z stesso per -1.
Per convenzione l'opposto dell'intero 0 è 0 stesso.
Poiché in Z coesistono sia numeri positivi che numeri negativi,
introduciamo l'operatore matematico "valore assoluto" di Z, del numero intero.
Il valore assoluto viene rappresentato con due barrette verticali
ed è un numero intero sempre positivo.
Per definizione: se z è un numero positivo,
allora il valore assoluto di z coincide con z.
Se z è invece un numero negativo, appartiene cioè all'insieme Z-,
il suo valore assoluto è uguale a z.
Le prime proprietà che possiamo individuare per questo operatore
sono le seguenti:
1. prima di tutto, come detto nella definizione, |z| è sempre un numero positivo quando appartiene all'insieme Z+.
2. il valore assoluto di |z| coincide con |-z|.
Se andiamo a considerare, per esempio, in numero -3
il suo valore assoluto sarà sempre 3.
Così come il valore assoluto di +3, essendo già un valore positivo, darà 3.
Il valore assoluto di un numero e del suo opposto coincidono.
Per quanto riguarda l'operazione di somma per l'insieme dei numeri relativi Z
per poterla definire ricorriamo ad una nozione più intuitiva e meno formale.
Allo scopo, osserviamo che considerata una retta e fissato su di essa un punto di origine
coincidente con lo zero,
posti a destra di questo valore i numeri positivi e alla sua sinistra quelli negativi,
volendo definire la somma di x + y
si individua il punto sulla retta corrispondente all'intero x.
Se y è positivo, la somma x+y si ottiene partendo da x e si procede verso destra
di un numero di passi pari ad y.
Se invece y è un numero negativo, sempre a partire da x, procediamo verso sinistra
di un numero di passi pari ad y.
Possiamo dire quindi che per ottenere la somma di x+y,
a partire da x si avanza oppure si indietreggia
di un numero di passi pari al modulo di y.
Se si indietreggia, y sarà uguale a -y.
Le proprietà della somma dei numeri interi relativi Z sono uguali alle proprietà dei numeri naturali N,
sia per quanto riguarda la proprietà dell'associatività,
che per quanto riguarda la commutatività e l'esistenza dell'elemento neutro zero.
La proprietà in più che invece abbiamo è quella dell'esistenza del simmetrico, dell'opposto:
ogni elemento in Z ha un proprio opposto,
ovvero lo stesso numero però cambiato di segno. La proprietà si evidenzia nel fatto che,
quando vado a considerare z più il suo opposto, ottengo come risultato zero.
Ad esempio se ho 3, il suo opposto sarà -3;
se considero -5 il suo opposto sarà invece +5
perché deve essere sempre verificata la proprietà per cui
la somma di un numero e del suo opposto deve darmi 0.
Come per l'insieme dei numeri naturali N, la seconda operazione analizzata in Z è quella di prodotto
che estende quella considerata in N tenendo conto, in questo caso, le regole dei segni
poiché in Z sono presenti anche numeri negativi.
Il prodotto dunque avrà sempre la proprietà associativa, commutativa,
la presenza dell'elemento neutro 1 come per i numeri naturali N
e vale sempre la proprietà distributiva già discusso per il prodotto in N.
Possiamo però individuare un'ulteriore proprietà,
che lega il concetto di valore assoluto con quello di prodotto,
cioè il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti.
Un'altra operazione del prodotto, già introdotta in N,
è l'operazione di elevazione a potenza in Z.
La definizione diventa più complessa perché
in Z dobbiamo considerare anche potenze in base negativa.
Così come è scritto il procedimento risulta alquanto complicato, quando in realtà risulta più semplice di ciò che appare.
Per calcolare la potenza di un numero
bisogna distinguere tre casi in cui
la base può avere valore positivo, valore negativo o essere uguale a zero.
L'esponente invece può essere o pari o dispari.
Se la base è positiva e l'esponente è pari,
il numero che si ottiene sarà sempre un numero positivo.
Se la base è positiva e l'esponente è dispari
(per esempio 2 alla terza con risultato 8)
il numero che si ottiene è comunque un numero positivo.
Come abbiamo già detto 0 elevato ad un qualsiasi numero è sempre 0, senza alcun problema.
La novità è evidente invece per i numeri negativi (la parte positiva l'avevamo già presa in esame con i numeri naturali).
Avendo introdotto il concetto di numeri negativi, la base può anche negativa.
Se abbiamo una base negativa con esponente pari, ad esempio -2 alla 2,
il numero sarà un numero positivo con risultato 4;
se invece la base è negativa e l'esponente è dispari, vedi -2 alla 3,
il risultato sarà -8, quindi un numero negativo.