Introduciamo gli elementi di teoria degli insiemi numerici,
in particolare tratteremo dei numeri naturali, degli interi relativi e dei razionali.
Iniziamo ad osservare graficamente i numeri naturali.
Questa rappresentazione permette di individuare la relazione che intercorre tra i sottoinsiemi
e in particolare tra l'insieme dei numeri naturali N, sottoinsieme dell'insieme dei numeri interi relativi Z,
il quale, a sua volta, è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri razionali Q.
Partiamo con l'individuare da cosa è costituito l'insieme dei numeri naturali
e quali sono le operazioni che si possono definire in esso.
L'insieme dei numeri naturali è, prima di tutto, un insieme infinito
costituito dagli elementi che vanno da 0 ad infinito (∞).
Strutturalmente è il più semplice tra gli insiemi numerici.
I numeri naturali introdotti da Peano possono essere definiti
mediante il metodo di ricorsione
a partire dall'insieme vuoto (Ø).
Lo zero è uguale per definizione all'insieme vuoto (Ø),
l'elemento 1 viene definito come l'insieme costituito da quell'unico elemento
che è il vuoto (Ø),
a seguire l'elemento 2 sarà definito come l'insieme
costituito dai due soli elementi 0 e 1
e così all'infinito.
Passiamo a definire il concetto di somma tra numeri naturali.
Una somma non è altro che un'associazione:
a due numeri naturali, per esempio n ed m,
associa un terzo numero naturale che indichiamo con il simbolo n+m.
Con la seguente proprietà:
la somma dell'elemento n con l'elemento 0
ha lo stesso valore dato dalla somma tra 0 e n
che, per definizione, mi darà come risultato comunque n.
Lo zero aggiunto alla somma non altera il valore n e per questo viene chiamato "elemento neutro per la somma".
La somma gode di due proprietà:
1. la proprietà associativa per cui non vale l'ordine con il quale eseguo le somme.
Ad esempio, se sommo prima l con m e poi aggiungo n,
è la stessa cosa che se sommassi prima m ed n e a questo aggiungessi l.
2. la proprietà commutativa per cui non importa l'ordine con il quale la somma viene eseguita.
Ad esempio possiamo dire quindi che m+n sarà uguale ad n+m.
Una seconda operazione applicabile ai numeri naturali è il prodotto.
Esso è sempre un'associazione per cui
a due numeri naturali, ne viene associato un terzo secondo regole precise.
La proprietà che lo contraddistingue è che se eseguo il prodotto di n con 0,
è la stessa cosa che fare il prodotto tra 0 ed n.
Il simbolo ":=" serve ad indicare una "definizione", a volte scritto anche come "≝", ovvero un uguale con la scritta "def" al di sopra.
La proprietà afferma quindi che se moltiplico un qualsiasi numero naturale con lo 0,
il prodotto ottenuto mi darà sempre come risultato 0.
Per il prodotto l'elemento 0 non è più "elemento neutro"
in quanto modifica e varia il valore di n.
L'elemento neutro per il prodotto è l'1
poiché se moltiplico un qualsiasi numero naturale per 1,
il valore di n resta invariato.
Il prodotto su N è definito dalle seguenti proprietà:
- la proprietà commutativa, dove m per n è uguale al prodotto di n per m;
- la proprietà associativa per cui non ha valore come associo i numeri naturali tra loro per effettuare la moltiplicazione;
- la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
dove se eseguo il prodotto di l per la somma di (m+n)
ottengo lo stesso risultato del prodotto di l per m sommato al prodotto di l per n;
- la quarta proprietà, la legge dell'annullamento del prodotto,
afferma che il prodotto di due numeri naturali è uguale a 0,
se e solo se, uno dei due fattori è pari a zero.
O m è uguale a zero, oppure n è uguale a zero,
non possono esistere due numeri che siano non nulli tali che il loro prodotto sia uguale a zero.
Introduciamo, a questo punto, l'operazione di fattoriale.
Il fattoriale viene indicato con il simbolo del punto esclamativo,
definito che zero fattoriale (0!) sia sempre uguale ad 1,
il fattoriale di n (n!) si ottiene facendo il prodotto di tutti quanti i numeri
da 1 fino al numero n in questione.
Considerando l'esempio con 3 fattoriale (3!),
dobbiamo dunque moltiplicare i numeri da 1 fino a 3,
1 per 2 e poi per 3 con risultato 6.
Se dovessimo, invece, calcolare 4 fattoriale (4!),
allora sarebbe 1 per 2, per 3 e per 4= 24.
Supponendo di aver definito n fattoriale per un generico numero dell'insieme dei numeri naturali,
poniamo (n+1) fattoriale, il successore del fattoriale di n!,
esso sarà definito come n fattoriale (n!) per il numero successivo (n+1).
Ad esempio: 3 fattoriale (3!), espresso in funzione del precedente,
sarà uguale a 2 fattoriale (2!) per 3,
ma due fattoriale (2!) è due, quindi avremo sempre 2 per 3 con risultato 6,
il risultato non cambia.
Un'altra operazione applicabile è la potenza con esponente naturale.
Definiamo la potenza di base n appartenente all'insieme dei numeri naturali N escluso lo zero,
con esponente m
(indicata con il simbolo evidenziato n alla m).
n alla m indica il prodotto di n, m volte con se stesso.
Poniamo n alla 0 uguale per definizione ad 1
(un qualsiasi numero elevato alla zero sarà sempre uguale ad 1),
n alla m sarà definito come il prodotto di n volte n per se stesso.
Una volta definito n alla m, il successivo n alla m+1
sarà definito come il prodotto di n alla m e poi per n.
Ricordiamo poi che qualsiasi numero elevato ad uno, per definizione sarà sempre uguale a se stesso
(elevare ad 1 non varia il valore di n).
Vediamo degli esempi:
a. Supponiamo di voler calcolare 3 alla 4,
dobbiamo moltiplicare quattro volte il numero 3 per se stesso, il risultato sarà 81.
b. Zero alla terza significa che devo moltiplicare 3 volte zero per se stesso, con risultato 0.
c. 1 alla quarta: devo moltiplicare 4 volte 1 per se stesso, ottenendo 1.
d. ultimo esempio: se elevo un qualsiasi numero a zero, come 37499,
il risultato sarà sempre 1.
Altra cosa importante: l'espressione 0 alla zero non ha significato.
Parlando dei numeri naturali possiamo introdurre anche il concetto di "Ordinamento".
Come si costruiscono i numeri naturali?
Essi si costruiscono a partire dall'insieme vuoto, aggiungendo di volta in volta un elemento.
Ogni numero naturale costruito sarà sempre maggiore di tutti i suoi precedenti
e quindi i numeri naturali sono ordinati tramite una relazione d'ordine,
rappresentata graficamente tramite il simbolo di disuguaglianza ≤, o disuguaglianza stretta <.
Questi simboli indicano che l'uguaglianza non può avvenire.
Se consideriamo il numero naturale n+1,
costruito a partire da n,
si dice che esso è il successivo di n,
mentre quello che precede n, "n-1" si chiama precedente.
Dunque presi due numeri naturali è sempre possibile stabilire la relazione che intercorre tra loro:
o sono uguali (m=n), o l'uno è minore dell'altro o è maggiore dell'altro.
Questa appena citata è detta "Legge di Tricotomia"
dove presi n ed m appartenenti all'insieme dei numeri naturali N,
è possibile stabilire tra di loro una delle seguenti relazioni: o m è minore di n, o m è maggiore di n, o m ed n sono uguali.
L'ordinamento dei numeri naturali ha la caratteristica che ogni numero
possiede un immediato successivo: 2 è il successivo di 1,
3 è il successivo di 2,
e ciò significa che l'insieme dei numeri naturali è ordinato in maniera discreta.
Riassumendo possiamo dire che l'insieme dei numeri naturali N è infinito,
totalmente ordinato poiché possiamo sempre stabilire
la relazione presente tra due numeri (m≤n oppure m≥n)
e discreto perché ogni elemento ha un suo successore e un suo precedente.
Anche per l'ordinamento esistono delle leggi, chiamate leggi di monotonia,
o anche leggi di semplificazione.
Consideriamo per esempio la prima legge:
se due elementi b e c sono uguali (b=c)
e sommo sia a destra che a sinistra la stessa quantità a,
il risultato non cambia (sempre perché stiamo parlando di numeri naturali positivi).
Allo stesso modo, se ho che a e b sono uguali (a=b),
moltiplicando sia a destra che a sinistra una quantità non nulla,
il risultato non cambia, l'uguaglianza permane.
Se a è minore di b
e sommo a destra e a sinistra una quantità positiva,
l'ordinamento rimarrà invariato.
Similmente se a è minore di b
e moltiplico a destra e a sinistra una quantità positiva non nulla,
la relazione d'ordine rimarrà comunque invariata.
Consideriamo l'esempio:
10 è uguale a 7+3.
Se moltiplico a destra e a sinistra entrambi i membri per la quantità 3,
la relazione di uguaglianza sarà realizzata perché
moltiplicando a sinistra 10 per 3 otterrò 30,
a destra, invece, 7 per 3 mi da 21 sommato a 3 per 3 che da 9, ottengo comunque 30.
L'uguaglianza è vera e realizzata.
Ancora: se 3 è minore o uguale a 4, quando vado a moltiplicare a destra e a sinistra per 5, rimane ancora che 15 è minore di 20.