Introduciamo adesso le operazioni tra insiemi.
La prima operazione tra insiemi
che possiamo effettuare è l'operazione di unione.
In qualche modo questa operazione ricorda la somma tra numeri.
Dato un insieme S
chiamato "universo" e due suoi sottoinsiemi A e B,
l'unione dei due insiemi A e B sarà un altro insieme
indicato con il simbolo di unione U
costituito da tutti quegli elementi
in "S" che, o appartengono ad A, o appartengono a "B".
Graficamente se A e B sono
i due insiemi, la parte tratteggiata indica la loro unione.
Quest'unione gode di alcune proprietà,
come la proprietà commutativa.
Unendo A e B otteniamo lo stesso risultato
di quando prendiamo prima B e lo uniamo ad A.
Consideriamo un sottoinsieme X di S
e uniamolo con se stesso;
dato che ad X non viene aggiunto nulla
otterremo sempre X.
Ugualmente se uniamo X con il vuoto,
ciò che otteniamo, poiché ad X non stiamo aggiungendo
alcun elemento in più, sarà sempre X.
La terza proprietà, la proprietà associativa,
afferma che
unendo A e B
e alla loro unione aggiungiamo C,
otteniamo lo stesso risultato di quando eseguiamo le operazioni invertite,
cioè se uniamo prima B con C,
e poi uniamo al risultato A.
Poiché vale la proprietà associativa,
non ha importanza qual è l'insieme che uniamo prima con gli altri,
(le parentesi possono dunque essere omesse).
Indichiamo l'unione di tre insiemi in questo modo A∪B∪C
ovvero come l'insieme di tutti quanti gli elementi
che stanno nell'universo S
tale che x o appartiene ad A, o appartiene a B, o appartiene a C.
L'unione può essere anche generalizzata:
abbiamo parlato di unione di due insiemi,
ma si può parlare dell'unione di un numero qualsiasi n
di sottoinsiemi di S.
L'unione di n insiemi viene indicata con il simbolo in figura
oppure in maniera sintetica con una "U"
e degli indici, l'indice i
che va da 1 a n
di questo sottoinsieme x con i.
Questo significa che se i è uguale ad 1, x con i sarà uguale ad x con 1.
Ciò espresso in modo sintetico;
in modo esplicito abbiamo che
l'insieme sarà costituito da tutte quante le x in S,
tali che x appartiene
ad uno di questi sottoinsiemi x con n.
In modo ancora più sintetico:
il sottoinsieme S è costituito da tutte le x in S
tale che esiste un indice i
dell'x in esame che apparterrà ad uno degli x con i,
dove i varia da 1 ad n
e può essere x con 1, x con 2, x con n.
Una seconda operazione che ricorda alla larga
la differenza è l'intersezione tra insiemi.
Poniamoci sempre nel nostro universo S
e prendiamo sempre due sottoinsiemi.
L'intersezione di questi due sottoinsiemi sarà costituita
solamente da quegli elementi
che contemporaneamente appartengono sia ad A che a B,
(in figura si vede che l'intersezione
è data dalla parte tratteggiata comune ad A o a B).
Per quanto riguarda le proprietà
di cui gode l'intersezione possiamo dire che essa gode sempre della commutatività
come per quanto riguarda il concetto di unione e invece, per quanto riguarda la seconda proprietà,
abbiamo che se x è un sottoinsieme di S, quindi una parte di S,
se vado ad intersecare x con x, avrò sempre x,
così come l'unione di x e x mi dà x.
Se invece vado a fare l'intersezione tra x e il vuoto,
come risultato avrò appunto il vuoto
perché l'unico elemento che abbiamo
in comune tra il vuoto ed x, sarà sicuramente solo elemento vuoto
(diversamente dall'unione dove, quando andavamo ad unire x con il vuoto,
avevamo x nel suo intero).
Vale la proprietà associativa
come per l'unione (anche qui possiamo omettere
le parentesi quando facciamo l'intersezione tra tre sottoinsiemi).
Possiamo generalizzare
l'intersezione di due insiemi con l'intersezione di n sottoinsiemi.
Questa volta
l'intersezione viene indicata come in figura.
Questo sarà costituito da tutte quante le x
appartenenti ad S tali che, questa x
contemporaneamente
dovrà appartenere a tutti le x con i che costituiscono l'intersezione.
Esiste una proprietà
che in qualche modo unisce l'intersezione e l'unione
ed esprime questo:
se consideriamo A come sottoinsieme
e x con i, n+1 sottoinsiemi di S,
abbiamo che, se andiamo a considerare l'intersezione di x con i
e poi la uniamo ad A, otteremo lo stesso risultato
dato dall'unione di x con i e dall'intersezione di tutti gli insiemi.
Analogamente fare prima l'unione di tutte quante le x con i
e poi questo insieme intersecarlo con A
è la stessa cosa che intersecare prima A e ciascun x con i
e poi unire tutti questi insiemi che abbiamo ottenuto.
Queste proprietà sono verificabili formalmente.
Un'altra particolarità dell'intersezione
è che può accadere che due insiemi abbiano come intersezione
nessun elemento e quindi la loro intersezione risulterà nell'insieme vuoto,
in tal caso gli insiemi si dicono disgiunti, non ci sono cioè elementi in comune
e questo si vede in modo evidente nella Figura 0.1.4.
Non ci sono parti tratteggiate, non ci sono cioè elementi in comune.
Un'altra operazione importante per quanto riguarda l'insieme è l'operazione
di complemento:
consideriamo sempre il nostro universo S
e prendiamo in esso un sottoinsieme di A.
L'operazione che vogliamo eseguire è di
effettuare il complemento di A rispetto ad S
dove nella dicitura si parla solo di complemento di A
e si sottintende che S è l'universo rispetto al quale stiamo facendo questo complemento.
Questo sarà costituito
da tutti quegli elementi
che appartengono ad S, ma non appartengono ad A
(si vede chiaramente nella figura nella parte tratteggiata
che rappresenta il complemento).
Abbiamo tutti quanti gli elementi
che stanno in S a meno degli elementi che stanno in A.
Il complemento, come ho detto,
si può fare rispetto
all'universo S, ma anche rispetto ad un altro insieme. Per esempio
vogliamo calcolare il complemento di A rispetto a B,
dove A e B sono due sottoinsiemi dell'universo S.
Questo complemento, visibile graficamente nella parte tratteggiata,
si indica con questo simbolo (A-B).
Prendiamo gli elementi di x appartenenti ad S
che appartengono ad A e contemporaneamente non appartengono a B.
Espresso sinteticamente in questo modo:
il complemento di A rispetto a B è uguale
all'operazione di
considerare prima il complemento di B,
tutta quanta la parte indicata, a meno di B.
Dopodiché facciamo l'intersezione
tra tutta questa parte complemento di B
con A e otteniamo la parte tratteggiata
che è proprio il complemento di A rispetto a B.
Un'ultima operazione è il prodotto Cartesiano.
Per introdurre il prodotto Cartesiano dobbiamo però introdurre la nozione
di coppia ordinata.
Supponiamo di avere due insiemi non vuoti e
prendiamo coppia ordinata di ascissa "s"
e seconda coordinata o ordinata "t"
l'insieme costituito al primo elemento
dal solo elemento {s}
e come secondo elemento
l'insieme costituito dalla coppia (s,t).
La coppia ordinata sarà indicata i questo modo (s,t).
Quindi S è preso nel primo insieme S
e t minuscolo è preso nel secondo insieme.
S è detta appunto ascissa
e T è detta ordinata.
Il prodotto cartesianoè definito come l'insieme di tutte le ennuple ordinate.
E' importante che l'ennuple siano ordinate, cioè
che la prima coordinata appartenga sempre al primo insieme,
e che la seconda coordinata appartenga al secondo insieme
di quest'espressione.
Proprio perché le coppie devono essere ordinate,
quello che subito si verifica è che il prodotto cartesiano non è commutativo
perché le coppie (s,t)
saranno diverse dalle coppie (t,s).
E inoltre
un'altra proprietà riscontrata è la seguente: se almeno uno dei due insiemi
è vuoto, allora il prodotto cartesiano sarà vuoto.
Questo perché se uno dei due insiemi è vuoto
o la prima o la seconda coordinata non ci sarà
perché è un insieme vuoto e non esiste coppia,
quindi il prodotto cartesiano sarà privo di elementi.
Come si esprime l'uguaglianza tra coppie ordinate?
Dire che due coppie ordinate sono uguali (espresse con questo simbolo evidenziato)
significa che la prima coordinata della prima coppia
deve essere uguale alla prima coordinata della seconda coppia
e la seconda coordinata della prima coppia
deve essere uguale alla seconda coordinata della seconda coppia.
Vediamo un esempio:
supponiamo di avere due insiemi,
l'insieme A costituito dai numeri {1,2,3}
e l'insieme B costituito dalle lettere {a,b,c}.
Vogliamo calcolare il prodotto cartesiano di A e B.
Come abbiamo detto questo sarà costituito da coppie
e queste coppie dovranno avere
il primo elemento che appartiene ad A e la seconda coordinata che appartiene a B.
Prendiamo il primo elemento di A, che è appunto 1
la prima coppia sarà 1
e il secondo elemento dovrà appartenere a B.
La prima coppia è (1,a),
poi scorriamo sempre tra gli elementi di B: il primo elemento è sempre 1,
b (1,b) e infine 1 e c (1,c).
Dopodiché prendiamo come primo elemento il 2 che sta in A
e facciamo scorrere a, b, c ottenendo (2,a),(2,b),(2,c);
come prima coordinata possiamo avere ancora un'altra possibilità in A
che è il 3, quindi abbiamo (3,a),(3,b),(3,c).
Calcoliamo adesso il prodotto cartesiano di BxA.
Le coppie sono diverse
perché in questo caso la prima coordinata sarà presa in B,
per esempio se consideriamo la prima coppia
abbiamo come prima coordinata a
e come seconda coordinata un elemento di A, per esempio 1.
si vede subito che le coppie sono diverse e quindi i due prodotti cartesiani
saranno differenti e per questo non vale la commutatività.
Questo è un esempio in cui non vale
la commutatività dei due insiemi.
In realtà il concetto di prodotto cartesiano si può anche generalizzare,
poiché nel prodotto cartesiano di due insiemi siamo partiti
dal dare una definizione di coppia ordinata
per generalizzare il prodotto cartesiano dobbiamo prima generalizzare
il concetto di coppia ordinata.
Ciò è possibile generalizzando il concetto di ennupla ordinata.
Un'ennupla ordinata
è una sequenza di elementi (s con 1, s con n)
dove s uno è preso nel primo insieme S con 1 maiuscolo
s1 piccolo è costituito da S2 maiuscolo
s con n minuscolo è preso appunto nell'ultimo elemento
ed è rappresentato formalmente da questo insieme.
Avendo introdotto il concetto di ennupla ordinata, possiamo allora introdurre
il concetto di prodotto cartesiano di n sottoinsiemi.
Questo sarà costituito
dalle ennuple ordinate così come il prodotto cartesiano
di due insiemi era costituito
dalle coppie ordinate.
Queste ennuple ordinate, poiché ordinate,
devono essere tali che s con 1 deve appartenere al primo insieme,
la seconda coordinata apparterrà al secondo insieme
e l'ultima coordinata apparterrà all'ultimo insieme.
Un'osservazione che generalizza quanto detto
nel caso del prodotto cartesiano di due insiemi
è che se almeno uno degli insiemi
S con 1, S con n è vuoto
allora il prodotto cartesiano degli n-insiemi sarà appunto vuoto.
Si può però applicare il prodotto cartesiano anche di un insieme con se stesso,
cioè il prodotto cartesiano di S n-volte con se stesso.
Tutti questi insiemi
S con i in realtà coincidono con l'insieme S.
Quindi nel mio prodotto cartesiano non avrò più S con 1, S con 2, S con n,
ma avrò sempre S, dunque S x S x S x S
che verrà denotato con questo simbolo: S alla n
una sorta di potenza.