Iniziamo questo corso di matematica generale
con
delle nozioni di teoria degli insiemi, in particolare quindi introdurremo la nozione intuitiva di insieme
e le operazioni possibili tra gli insiemi.
Ai fini di questo corso non è necessario
dare una definizione così formale della nozione di insieme che
comprenderebbe una teoria abbastanza forte,
ma diamo una
nozione intuitiva
dell'insieme. La nozione più intuitiva
che è stata data è quella
data da Cantor.
In realtà
diciamo intuitivamente che un insieme è una raccolta, una classe, un aggregato,
una totalità di oggetti determinati ben distinti
della nostra intuizione o del nostro pensiero.
Non diamo una definizione formale, ma ci siamo limitiamo a dare dei
sinonimi coi quali
individuare un insieme.
Gli oggetti che compongono un insieme si chiamano elementi.
Un elemento può o meno appartenere ad un insieme, quindi tra l'elemento
e l'insieme
esiste una relazione di appartenenza che indicheremo con questo simbolo ∈.
Allo stesso modo un oggetto può non appartenere ad un insieme
e lo indicheremo con quest'altro simbolo ∉.
Esistono però anche
degli insiemi che non hanno oggetti, che non hanno elementi;
questo tipo di insieme è chiamato insieme vuoto
che sarà invece individuato con questo tipo di simbolo Ø,
una sorta di zero spaccato.
Quello che c'è da osservare è che in realtà due insiemi
vuoti sono tra di loro indistinguibili, cioè
sono caratterizzati dalla proprietà di non avere elementi,
quindi non possono essere
distinti tra di loro.
Vediamo qualche esempio:
nell'esempio "i" vedremo che l'insieme A è costituito
dai numeri "3", "2", "1" e "0".
Possiamo dire che
l'elemento "2"
appartiene ad un insieme.
Se consideriamo invece l'esempio "ii",
abbiamo, per esempio, l'insieme A
che è costituito dai mesi dell'anno con 32 giorni.
Poiché non esistono mesi dell'anno
con 32 giorni, questo è dato proprio dall'insieme vuoto Ø.
Se poi consideriamo invece l'insieme dei numeri interi positivi,
dove con "interi positivi" stiamo escludendo lo "zero",
questo significa che l'elemento "zero"
non appartiene ad A.
Nell'ultimo esempio
vi è l'insieme costituito dai nomi propri di persone:
in questo insieme vediamo che il nome "Rosa" non appartiene ad A.
Negli esempi precedenti possiamo notare che
in realtà esistono due modi per elencare gli elementi di un insieme.
Se l'insieme è finito, allora
il metodo per descriverlo
è quello di elencare gli elementi al suo interno.
Questo metodo non può essere utilizzato
quando l'insieme è infinito,
perché si è nell'impossibilità
di poter elencare tutti gli elementi
infiniti.
Per descrivere gli insiemi infiniti, invece,
si individua una proprietà caratteristica
che hanno
tutti e soli gli elementi di questo insieme.
Anche gli insiemi finiti si possono descrivere in questo modo
però non è consigliabile farlo.
Effettuiamo un momento una digressione sui quantificatori.
I quantificatori sono degli operatori che servono
ad esprimere in modo sintetico delle espressioni che in matematica
si utilizzano spesso.
Abbiamo il quantificatore universale che indichiamo
con questo simbolo (∀), una sorta di A rovesciata
che serve ad esprimere in modo sintetico l'espressione "per ogni"
Mentre il quantificatore esistenziale,
indicato invece con una E al contrario (∃),
serve ad esprimere sinteticamente
l'espressione "esiste almeno un".
Ritornando agli insiemi,
possiamo scrivere una relazione tra gli elementi
di un insieme:
tra due elementi "x" e "y"
di un insieme A si può dire che essi sono uguali
(indicati con questo simbolo "="
letto come "x uguale ad y")
per indicare che x e y
indicano lo stesso elemento di A.
Mentre quando x e y
non individuano lo stesso elemento di A,
utilizziamo il simbolo "≠"
(letto come "x diverso da y").
A questo punto possiamo vedere le relazioni
che sussistono tra
un insieme ed un elemento, tra due elementi,
o tra gli insiemi.
Pensiamo a due insiemi: "A" e "B".
Possiamo dire che l'insieme B
è incluso in A, è un sottoinsieme di A,
è una parte propria di A
o che A include B (A ⊆ B).
Ogni elemento di B è anche un elemento di A
e questa proprietà dell'essere sottoinsieme di B
la individuiamo appunto con il simbolo ⊆.
Osserviamo che
tutti quanti i sottoinsiemi, in qualsiasi sottoinsieme,
avranno sicuramente due sottoinsiemi:
il sottoinsieme stesso
(preso un insieme A: A stesso è un sottoinsieme di A)
e l'insieme vuoto, contenuto in qualsiasi insieme.
Questi due sottoinsiemi sono due sottoinsiemi particolari
chiamati "sottoinsiemi impropri";
tutti gli altri sottoinsiemi sono detti invece "propri".
Se consideriamo il primo esempio
abbiamo due insiemi costituiti da numeri.
L'insieme B è costituito dai numeri "11", "21" e "30",
che sono numeri contenuti a nche in A,
e quindi è ovvio e banale dire che B è un sottoinsieme di A.
Se invece consideriamo il secondo esempio,
abbiamo l'insieme I costituito dai cittadini italiani
e l'insieme S costituito dai cittadini italiani
il cui cognome inizia con "S".
L'insieme S
è un sottoinsieme dell'insieme dei cittadini italiani.
Il terzo esempio individua due insiemi:
l'insieme F e l'insieme G.
L'insieme G dei multipli di 5 e l'insieme F dei multipli di 10.
Un numero che è multiplo di 5 lo è anche di 10,
dunque è possibile dire che l'insieme G è contenuto nell'insieme F.
Più facilmente possiamo individuare altri due insiemi:
l'insieme P e l'insieme H,
dove H è l'insieme dei soli pesci di fiume,
mentre P è l'insieme di tutti quanti i pesci
(ovviamente quindi H risulta essere una parte propria di P).
Esiste un modo agevole di rappresentare dei diagrammi graficamente
utilizzando una linea chiusa che individua l'insieme
e dei punti utilizzati per
rappresentare gli elementi racchiusi in queste curve.
Questo tipo di struttura, di rappresentazione grafica,
è chiamata "Diagramma di Venn".
Il diagramma di Venn permette in modo più evidente
di rappresentare la relazione di inclusione,
infatti come si vede dalla figura 0.1.1.,
abbiamo
che l'insieme C è incluso in B,
B è incluso in A
e che anche C è incluso in A.
Quella che abbiamo espreso non è altro che la proprietà transitiva
dimostrata in maniera rigorosa, ma evidente
attraverso il diagramma di Venn.
Un'altra relazione che sussiste tra gli insiemi
è la relazione di Uguaglianza.
Quand'è che diremo che due insiemi sono uguali?
Quando ogni elemento di A è anche un elemento di B
(indicato con il simbolo =
per indicare l'uguaglianza di elementi)
potremo dire
che esiste una doppia relazione di inclusione tra i due insiemi:
B è incluso in A, ma anche A è incluso in B,
è una parte propria di B.
Allo stesso modo possiamo dire quand'è che due insiemi
non sono uguali, ma diversi:
quando hanno almeno un elemento distinto.
O quando A non è incluso in B,
oppure quando B non è incluso in A.
Una relazione che invece generalizza l'inclusione
è l'inclusione stretta.
In particolare quand'è che diciamo che B è incluso strettamente,
o è un sottoinsieme proprio di A
e lo indichiamo con questo simbolo "⊂"?
Quando B è incluso in A
ma allo stesso tempo B è diverso da A.
Equivalentemente
quando esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B.
Se per esempio consideriamo l'insieme presente in figura,
vediamo che l'insieme B,
essendo costituito da "11", "21" e "30" già presenti in A,
è incluso in A;
tuttavia B è diverso da A, perché esiste almeno un elemento di A
(per esempio: "7") che non è in B,
quindi possiamo dire che B è strettamente incluso in A
ed è una sua parte propria.
Ugualmente esiste anche la negazione dell'inclusione stretta
quando
esiste almeno un elemento di B
che non appartiene ad A,
ovvero che o B non è incluso in A,
oppure B è uguale ad A.
Infatti se consideriamo l'esempio presente in figura
otteniamo che B non è incluso in A
perché in B esiste l'elemento "15"
che non esiste invece in A.
In questo caso non potremo dire B è strettamente incluso in A;
B addirittura è diverso da A.
Esiste una relazione tra l'inclusione e l'inclusione stretta:
quando B è incluso in A,
è strettamente incluso
oppure B è uguale ad A.
B incluso in A sta a dire
che B o è incluso in A (un'inclusione stretta)
o è uguale ad A (uguaglianza).