Parliamo ora di come possono essere rappresentati i numeri complessi.
I numeri complessi sono identificabili con coppie di numeri reali, con coppie ordinate,
e naturalmente li posso rappresentare come punti del piano cartesiano.
Il numero complesso z uguale ad a + ib, sarà rappresentato con la coppia ordinata (a;b).
In particolare, la coppia (0;0) rappresenterà il numero complesso 0,
la coppia (1;0) il numero complesso 1, quindi il numero reale 1 e
la coppia (0;1) l'unità immaginaria i.
Vediamo subito che i punti dell'asse x, che chiameremo "asse reale" del piano corrispondono ai numeri reali;
mentre i punti dell'asse y, che chiameremo "asse immaginario" corrispondono ai numeri immaginari puri.
Quello cerchiato è un numero z rappresentato sul piano cartesiano.
Dalla rappresentazione cartesiana è facile comprendere quello che la disuguaglianza triangolare, che abbiamo visto prima, ci vuole dire:
considerati i numeri complessi z1 e z2 e la loro somma (sul piano cartesiano evidenziata in giallo)
ottenuta tramite la regola del parallelogramma,
la disuguaglianza triangolare esprime la proprietà che in un triangolo
ogni lato è minore o uguale della somma degli altri due.
I numeri complessi possono essere rappresentati anche mediante le funzioni trigonometriche,
dette anche "coordinate polari".
Consideriamo il numero complesso z uguale ad x + iy:
abbiamo visto che può essere scritto come un punto del piano cartesiano R quadro,
che in questo caso particolare chiameremo "piano di Gauss".
Si nota che z può essere scritto come r coseno di phi φ più ir seno di phi φ.
Questo perché, per le funzioni trigonometriche applicate ai triangoli rettangoli, la x non è nient'altro che r per il coseno dell'angolo adiacente
e y non è nient'altro che r per il seno dell'angolo opposto, sempre per le proprietà dei triangoli rettangoli considerate con le funzioni trigonometriche.
Posso scrivere che z è uguale a r che moltiplica coseno di phi φ + i seno di phi φ.
Dove seno di phi φ e coseno di phi φ sono le classiche funzioni trigonometriche.
Si osserva che, per il Teorema di Pitagora,
il modulo di z non è nient'altro che r.
Poiché x quadro più y quadro non sono nient'altro che le coordinate del numero complesso z
e per il teorema di Pitagora applicato al triangolo evidenziato, mi danno esattamente r.
r è dunque il modulo di z,
mentre per le formule trigonometriche, andando a considerare che y è uguale ad r seno di phi φ
e x è uguale ad r coseno di phi φ,
se dalla seconda mi calcolo la r ho che r è uguale ad x su coseno di phi φ.
Sostituita nella prima, nel valore di y, mi dà x su coseno di phi φ, per seno di phi φ.
Quindi y su x non è altro se non seno di φ su coseno di φ,
che a loro volta, per le definizioni di funzione trigonometrica, non è altro che la tangente di φ.
Phi (φ) quindi è la tangente a meno 1,
la funzione inversa della tangente di x su y, detta anche "anomalia".
Perché sono importanti, mediante le funzioni trigonometriche, queste coordinate polari?
Perché sono legate ad una formula importante che è la formula di Eulero.
Usando la formula di Eulero, che lega la funzione esponenziale a quelle trigonometriche
(quindi questa formula evidenziata che mi lega la funzione esponenziale e con le funzioni trigonometriche coseno di x e seno di x)
posso scrivere un numero complesso (in coordinate polari espresso come coseno di phi φ + i seno di phiφ)
come e elevato ad i per phi φ.
Spesso ritroveremo, soprattutto in fisica, questo tipo di notazione per i numeri complessi.