Vediamo ora, oltre alla somma e al prodotto,
che tipo di operazioni posso andare ad eseguire con i numeri complessi.
Innanzitutto possiamo dare la definizione di "modulo".
Definiamo "modulo" di un numero complesso z=a+ib,
il numero reale dato dalla radice quadrata di a al quadrato più b al quadrato.
In pratica, il modulo di un numero complesso z non è nient'altro che la radice quadrata
dei quadrati delle singole coordinate del numero, quindi di a e di b.
Il modulo gode di alcune proprietà
se considerati i numeri complessi z e w
appartenenti al campo dei numeri complessi C:
1. So che il modulo di z è sempre positivo
(questo deriva dalla proprietà della radice per cui la radice quadrata di un numero è sempre maggiore di zero)
e inoltre il modulo di z è uguale a 0 se e solo se, il numero complesso z è proprio uguale a 0, è nullo.
2. Il modulo del prodotto di due numeri complessi
è dato dal prodotto dei moduli dei numeri complessi considerati.
3. Ciò non è vero però per la somma, ovvero se vado a considerare
la somma di due numeri complessi e ne faccio il modulo,
allora il modulo della somma di due numeri complessi è minore o uguale
dei moduli dei due numeri complessi.
Avrò che il modulo di z più w è minore o uguale del modulo di z più il modulo di w.
Questa disuguaglianza che vediamo al punto 3
si chiama pianta triangolare
ed è una disuaguaglianza che ci porteremo avanti per quasi tutto lo studio della matematica.
Un'altra operazione possibile da definire mediante il modulo
è la definizione di "distanza".
Se considero due numeri complessi z e w,
allora posso definire la distanza tra z e w
come il modulo di z meno w, cioè della differenza di z e w.
Andiamo ad introdurre un altro tipo di operazione
quella del "complesso coniugato" o del "coniugio".
Consideriamo il numero complesso z uguale ad a più ib
e definiamo il complesso coniugato (o il coniugio)
come z segnato uguale ad a meno ib.
Il complesso coniugato gode di alcune proprietà.
Consideriamo due numeri complessi z e w,
vediamo che il complesso coniugato della somma di z più w
è esattamente la somma dei due complessi coniugati.
Analogamente si può dire per il prodotto:
il coniugato di z per w è esattamente il prodotto del coniugato di z per il coniugato di w.
Inoltre se vado a considerare il quadrato del modulo di z, vedo che questo è esattamente il prodotto di z per il suo coniugato.
Rispetto al rapporto, il coniugato del rapporto di due numeri complessi è esattamente il rapporto dei due coniugati.
Se vado a considerare il modulo di z, questo avrà esattamente lo stesso modulo del suo coniugato.
Infine, se vado a fare il coniugato del coniugato ritorno al numero complesso z.
Un'ultima osservazione che può essere utile è che, se z è un numero reale, allora il suo coniugato coincide con se stesso.
Possiamo anche andare a dare una definizione di reciproco.
Consideriamo un numero z diverso da zero,
parlando di reciproco intendiamo 1 fratto z e quindi necessaria è la diversità dallo zero,
possiamo calcolare il reciproco come
il coniugio di z fratto il modulo di z al quadrato.
Andando a considerare z, che è uguale ad a + ib,
Il suo reciproco lo posso scrivere nella seguente forma cerchiata.
Andiamo a dare un esempio di come si calcola il reciproco di un numero complesso.
Consideriamo il numero complesso 3 meno i2,
il modulo di questo numero al quadrato sarà uguale al quadrato del primo elemento
più il quadrato del secondo elemento. La radice non è presente perché ho considerato il modulo al quadrato.
Questo modulo al quadrato sarà uguale a 13.
Vado a considerare poi qual è il complesso coniugato, qual è quindi il coniugio di z.
Il coniugio di z è zeta stesso cambiato di segno, ovvero 3 + i2,
z a meno 1 sarà uguale a 3 + i2 fratto 13.
Calcoliamo ora l'inverso di alcuni numeri complessi particolari.
Se andiamo a considerare l'unità immaginaria z = i che abbiamo detto essere la coppia (0;1),
il modulo di z al quadrato sarà uguale a 1, perché zero al quadrato è zero, più 1 al quadrato che è uguale ad 1.
Il coniugio di z sarà meno i
e quindi z meno 1 sarà l'opposto dell'unità immaginaria.
Andiamo a calcolare l'inverso di un numero complesso z uguale ad a,
quindi di un numero reale, della coppia (a;0).
Il modulo al quadrato sarà uguale al quadrato del numero, perché il primo termine al quadrato più il secondo al quadrato che è nullo mi darà a al quadrato.
Il coniugio di z, per le proprietà che abbiamo visto quando trattiamo z come un numero reale,
è uguale al numero reale stesso.
Il reciproco sarà uguale ad a fratto a al quadrato che non è nient'altro che 1 su a.
Notiamo facilmente che l'inverso di un numero reale, pensato come numero complesso,
coincide esattamente con l'inverso nei numeri reali.
Infatti l'inverso di un numero qualunque n appartenete ad R
è esattamente 1 su n.
L definizione di inverso in C
è una sorta di naturale l'estensione di quella esistente in R.
Possiamo andare a definire anche quello che è il rapporto tra numeri complessi.
Consideriamo i due numeri complessi z e w
e andiamo ad analizzare z su w.
z/w lo posso anche scrivere come z per 1 su w, cioè z per w a -1.
Andando a sostituire la definizione di w a -1,
ottengo che il rapporto fra z e w è dato dalla formula cerchiata.