Andiamo a fornire una definizione,
più moderna ma sicuramente più formale, del campo dei numeri complessi.
Consideriamo l'insieme dei numeri reali R al quadrato, ovvero il prodotto cartesiano di R per se stesso.
In R quadro andiamo a definire un'operazione di somma ed un'operazione di moltiplicazione
(definite come indicato).
Queste operazioni sono entrambe ben definite in R al quadrato perché,
come si può vedere,
questo elemento qui (a+b; c+d) è ancora un elemento di R quadro, analogamente il secondo elemento (ac-bd; ad+bc) appartiene ancora ad R quadro.
Si definisce campo dei numeri reali la terna
R al quadrato con l'operazione di somma e di prodotto.
C, rispetto alle due operazioni definite, è un campo.
Cosa vuol dire essere un campo?
E' un gruppo commutativo rispetto alla somma +,
cioè se io faccio la somma di due numeri complessi (a;b) + (c;d)
essa sarà uguale a (c;d) + (a;b).
Posso investire le coppie di numeri che sto considerando.
Se vado a considerare (a;b)+(c;d),
applicando la definizione che ho dato di somma dei due numeri complessi, questo sarà uguale ad (a+c; b+d) come coppia ordinata.
Poiché sappiamo che la somma in R
gode della proprietà commutativa, posso scrivere (c+a; d+b)
e questo, per definizione di somma che ho dato prima, non è altro che la somma dei due numeri complessi (c;d) + (a;b).
E' anche un gruppo commutativo rispetto al prodotto.
Analogamente consideriamo il prodotto dei due numeri complessi (a;b) e (c;d)
e andiamo ad applicare la definizione di prodotto che abbiamo precedentemente definito.
Ovviamente poiché ci troviamo nell'insieme dei numeri reali dato che (ac-bd) e (ad+bc) sono elementi di R,
possiamo utilizzare la proprietà commutativa del prodotto in R e quindi scambiare i fattori.
Al posto di ac scrivo ca e ugualmente anche per gli altri.
Dalla definizione di prodotto esce che
(ca-db; da+cb) è proprio uguale il prodotto di (c;d) per (a;b).
L'ultima proprietà, che anche quella più lunga da spiegare,
è che il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
Se considero il numero complesso (a;b)
e lo moltiplico per la somma dei numeri complessi (c;d) più (e;f)
quello che voglio dimostrare è che questa operazione (a;b)*((c;d)+(e;f))
è esattamente uguale ad (a;b) per il primo numero complesso (c;d)
più (a;b) per il secondo numero complesso (e;f).
I passaggi sono tutti riportati,
lasciamo la lettura allo studente.
C abbiamo detto è il campo dei numeri complessi. Contiene quindi dei numeri reali
e può essere considerato una sua estensione.
Il numero complesso (a;0),in cui la prima coordinata a è un numero reale e la seconda coordinata è zero,
è identificato proprio con il numero reale a.
Mentre il numero complesso (0;a), dove la prima coordinata è 0 e la seconda coordinata è un numero reale,
è detto "numero complesso puro" (o "immaginario puro").
Consideriamo il numero complesso (a;b) appartenente al campo C dei numeri complessi.
(a;b) per definizione di somma può essere scritto anche come (a;0)+(0;b).
Inoltre considerato il numero (0;1) appartenente a C,
ogni volta che considero i numeri complessi (0;b) e (b;0),
vedo che valgono le seguenti proprietà:
(0;1) per (0;b) mi dà (b:0);
(0;1) per (b;0) mi dà (0;b).
In pratica moltiplicando un elemento del tipo (0;b) o (b;0)
per questo elemento particolare di C (0;1) è come se ottenessi
in (0;b) uno scambio delle coordinate degli elementi del numero.
Teniamo ben presente queste proprietà per il seguito...
Identifichiamo il numero (0;1) con l'unità immaginaria i.
Si verifica che i al quadrato
godrà della proprietà dell'unità immaginaria al quadrato, ovvero (0;1) per (0;1)
che è uguale per definizione di prodotto a (-1;0)
il quale può essere identificato con il numero reale meno 1.
Grazie alle uguaglianze considerate,
ogni numero complesso z dato dalla coppia (a;b)
può scriversi nella forma: a + ib.
Vediamo perché:
z, abbiamo detto, è uguale alla coppia ordinata (a;b)
ma questa coppia ordinata la posso scrivere come somma di (a;0) + (0;b).
(0;b) per l'uguaglianza vista precedentemente, lo posso scrivere anche come (0;1) per (b;0).
Andando a sommare (a;0) più il prodotto di (0;1) per (b;0)
ottengo proprio a+ ib.