Salve. In questa lezione parleremo del campo dei numeri complessi C.
L'obiettivo della lezione sarà lo studio del Campo dei numeri Complessi.
In particolare lo studio delle proprietà dei numeri complessi e le operazioni possibili tra numeri complessi.
Ci occuperemo di dare un'introduzione "informale" ai numeri complessi,
ne daremo una definizione detta "moderna"
sicuramente più attuale e più formale dei numeri complessi.
Andremo a vedere quali sono le possibili operazioni che possiamo fare con i numeri complessi.
Andremo anche a vedere come possono essere rappresentati in più modi i numeri complessi.
E infine parleremo dell'ordinamento del campo dei numeri complessi.
Andiamo a dare quella che è un'introduzione informale dei numeri complessi,
o forse quella più nota alla maggior parte degli studenti.
I numeri complessi nascono dall'esigenza di trovare soluzione all'equazione del tipo:
x al quadrato uguale a meno uno.
Ho segnato questa ma intendevo dire "ad equazioni che mi pongono il quadrato,
o comunque un esponente di numero pari,
uguale ad un numero negativo".
Sappiamo che questo tipo di equazioni, quindi
x al quadrato uguale a meno uno,
non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali,
perché non esistono numeri reali il cui quadrato è uguale ad un numero negativo.
I numeri complessi vedono il loro utilizzo in molti rami delle materie scientifiche
quali la matematica, la fisica, l'ingegneria ed altro...
Li troviamo un po' in ogni dove, ed è quindi importante avere dimestichezza con i numeri complessi e con le loro operazioni.
Possiamo, quindi, definire i numeri complessi come un'estensione dei numeri reali,
dove è possibile trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali,
qualunque esse siano.
Per andare a trovare queste soluzioni dell'equazione che abbiamo visto precedentemente,
x al quadrato uguale a meno 1,
andiamo a definire un valore i
detto unità immaginaria,
che gode della proprietà:
i al quadrato è uguale a meno uno.
Teniamo ben presente questa proprietà dell'unità immaginaria.
Si definisce un "numero complesso"
un numero formato da due parti,
una parte reale a e una parte immaginaria b
rappresentato dall'espressione a più ib
(spesso la vedremo nel seguito della lezione)
con a e b che sono numeri reali e i abbiamo detto essere l'unità immaginaria.
È possibile definire la somma algebrica e il prodotto di due numeri complessi.
Andiamo a considerare i numeri complessi (a+ib) e (c+id):
vediamo che la somma algebrica dei due numeri (a+ib) + (c+id)
viene definita come (a+c)+i che moltiplica (b+d).
In pratica il primo elemento della somma è la somma dei 2 elementi
al primo posto dei numeri complessi che vado a considerare
più l'unità immaginaria e la seconda parte
è la somma dei secondi elementi.
Il prodotto, considerati sempre gli stessi numeri complessi,
è definito in maniera un po' più difficoltosa.
Si fanno tutti i passaggi, quindi andiamo a fare la moltiplicazione come la facciamo nel campo dei numeri reali,
e ricordiamo semplicemente che i al quadrato è uguale a meno 1.
Considerata questa proprietà
e mettendo in evidenza i termini che hanno la i in comune,
otteniamo che il prodotto dei due numeri complessi è uguale al prodotto del primo elemento del primo numero
per il prodotto del primo elemento del secondo numero,
meno il prodotto dei secondi elementi
più i che moltiplica a per il secondo elemento del secondo numero
e b, quindi la seconda parte del primo numero,
per la prima parte del secondo numero.
E' un po' contorto, ma basta semplicemente memorizzare questa formula.
Con l'ntroduzione dei numeri complessi ogni equazione polinomiale di questo tipo (ax al quadrato più bx + c),
incluse quelle con discriminante nullo (dove per discriminante intendiamo l'elemento
b al quadrato meno 4ac), ammettono soluzioni.
Queste soluzioni sono date nel campo dei numeri complessi
come x uguale al rapporto fra meno b più o meno i
per la radice del discriminante cambiato di segno, fratto 2a.
Forniamo un piccolo esempio.
Consideriamo l'equazione x al quadrato + 4x + 8 uguale a 0.
In questo caso il discriminante b al quadrato, composto da 4 al quadrato con risultato 16,
meno 4ac, ovvero 8 per 4 (perché in questo caso la a è pari a 1) uguale a 32,
è ovviamente negativo.
Nel campo dei numeri reali ci fermeremmo, mentre nel campo dei numeri complessi posso andare a considerare le due radici
applicando la formula che abbiamo precedentemente visto.
E allora le due radici sono date da meno 2 più o meno 2i.