Viste quelle che sono le relazioni in generale
e i metodi di rappresentazione delle relazioni stesse,
adesso poniamo la nostra attenzione su delle relazioni che sono importanti
perché andranno a caratterizzare degli insiemi fondamentali
nella matematica.
Andiamo a considerare quella che è la relazione chiamata "relazione binaria".
La relazione binaria è un particolare tipo di relazione
dove, dato un insieme A sempre non vuoto (≠Ø),
vado a considerare una relazione tra A e se stesso.
Quindi non vado a considerare più un secondo insieme B,
ma vado a considerare sempre l'insieme A di partenza.
Allora chiameremo e definiremo "relazione binaria"
una relazione R da (AxA) con grafico G [R=(AxA,G)].
Il più banale esempio di rappresentazione binaria è la relazione identica.
La relazione identica è quella definita da (AxA)
e per grafico ha esattamente la diagonale,
o bisettrice, del primo e terzo quadrante del piano cartesiano.
In pratica, se vado a definire
il piano cartesiano dove
sull'asse delle x ci sono gli elementi di A,
e sull'asse delle y ci sono ancora elementi di A,
la relazione identica è quella rappresentata
dalla bisettrice del primo e terzo quadrante
perché mi individua le coppie dove il primo elemento è esattamente identico al secondo.
La relazione binaria è una relazione che può godere
di molte proprietà, su cui si possono definire molte proprietà,
ovviamente non tutte contemporaneamente.
Innanzitutto possiamo definire una proprietà riflessiva, cioè che ogni elemento dell'insieme,
qualunque esso sia, è in relazione con se stesso.
Abbiamo una proprietà antiriflessiva,
cioè che per ogni elemento dell'insieme,
a non è in relazione con a. Questo simbolo ¬ va ad indicare il "non",
non essere in relazione.
Poi abbiamo una proprietà simmetrica, cioè che se a è in relazione con un elemento a',
questo mi indica che a' è in relazione con a,
qualunque siano gli elementi a e a' appartenenti ad A.
Abbiamo poi una relazione di antisimmetria,
cioè presi due qualunque elementi a e a' appartenenti ad A,
se a è in relazione con a', questo mi implica che a' non è in relazione con a.
Abbiamo una proprietà asimmetrica,
cioè che se a è in relazione con a' e a' è in relazione con a,
allora a è uguale ad a'.
Questa relazione di asimmetria è una relazione che incontreremo
più volte nel corso degli studi della matematica
e questa vale per ogni elemento appartenente all'insieme,
qualunque elemento o coppia di elementi io scelga.
E infine, un'altra proprietà che forse è già nota a molti,
la proprietà transitiva.
Dati tre elementi qualunque appartenenti all'insieme denotato con a, a' e ā,
se a è in relazione con a'
e a' e a sua volta in relazione con ā,
questo mi implica che a è in relazione con ā.
Queste sono le proprietà fondamentali della relazione binaria
e, a seconda di quali tipi di proprietà valgono all'interno di un insieme,
possiamo dire delle cose importanti sull'insieme stesso,
l'insieme potrà essere definito in alcuni modi.
Forniamo ora degli esempi,
partendo dalla proprietà riflessiva.
Consideriamo la relazione nota di "maggiore o uguale a",
quella che indichiamo generalmente con il simbolo ≥.
Consideriamo il campo dei numeri reali:
nel campo dei numeri reali, ogni elemento è maggiore o uguale a se stesso
e questo è ovvio perché c'è proprio l'uguaglianza 4=4
dove 4 è un numero reale.
Ma non è errato e posso scrivere tranquillamente, affermando il vero,
che 4 è maggiore o uguale di 4 (4≥4).
La relazione maggiore o uguale in R
gode della proprietà riflessiva.
Un'altra proposizione, un'altra relazione che nel campo dei numeri reali gode della proprietà riflessiva è quella del "divide",
infatti ogni numero reale sappiamo bene essere divisibile per se stesso.
Esempio banale: 2 è divisibile per 2,
questa frazione ha senso.
Andiamo ad introdurre quella che è una relazione binaria molto particolare e
che viene detta "relazione di equivalenza".
Andiamone a dare una definizione formale:
"Una relazione binaria, in un insieme A, dicesi
"relazione di equivalenza" se è riflessiva,
il che vuol dire che ogni elemento è in relazione con se stesso
se è simmetrica, cioè
che sia a in relazione con a' (aRa'), a' in relazione con a (a'Ra),
qualunque siano gli elementi a e a' appartenenti ad A ( ∀a,a'∈A).
Ed infine gode della proprietà transitiva,
cioè dati tre elementi: a, a' e ā dell'insieme A,
se a è in relazione con a', e a' è in relazione con ā,
questo mi implica che a è in relazione con ā.
Dunque una sorta di catena.
In una relazione di equivalenza R, se un elemento è in relazione con un altro,
quindi se a è in relazione con a',
si scrive a≡a' (modR) e si legge
a congruo (≡) a' modulo R.
Sono relazioni di equivalenza: la relazione identica id di A dell'insieme A per se stesso
e la relazione totale.
Andiamo a vedere perché: nella relazione identica abbiamo detto che due elementi a e a' sono in relazione identica se, e solo se, a è uguale ad a'.
La proprietà riflessiva è quindi soddisfatta.
E' anche soddisfatta, visto che a è in relazione con a' se e solo se, a è uguale ad a', la relazione simmetrica
perché a=a' equivale a dire a'=a.
Anche la relazione transitiva, se a è uguale a b, e b è uguale a c,
ovviamente a è uguale a c.
La relazione identica, quindi, mi soddisfa le tre proprietà
di cui deve godere una relazione per poter essere chiamata "di equivalenza" e possiamo tranquillamente affermare
che la relazione identica è una relazione di equivalenza nell'insieme A.
Andiamo a definire ora un concetto particolare,
quello di classe di equivalenza.
Consideriamo una relazione di equivalenza R in un insieme A
e consideriamo un elemento a appartenente all'insieme A.
Definiamo "classe di equivalenza" dell'elemento a modulo R
questo insieme che scriveremo come [a] con pedice R,
ovvero l'insieme costituito dagli elementi a' di A che sono in relazione R con a.
Rileggendo: il sottoinsieme di A costituito dagli elementi di A in relazione R con a minuscolo.
Osserviamo che l'elemento stesso appartiene alla sua classe di equivalenza
e questo è ovvio per le proprietà riflessiva della relazione di equivalenza,
perché abbiamo detto che la proprietà riflessiva ci dice che ogni elemento
è in relazione con se stesso e quindi l'elemento appartiene alla propria classe di equivalenza.
Considerata la relazione di equivalenza R,
l'insieme delle classi di equivalenza modulo R lo consideriamo come
A su R (A/R) dove R è la relazione di equivalenza che stiamo considerando
ed è l'insieme costituito da tutte le classi [a]R con a elemento di A.
Questo insieme prende il nome di "insieme quoziente" di A rispetto ad R.
Per le classi di equivalenza valgono delle proprietà importanti.
Ovviamente ogni classe di equivalenza è non vuota
e questo è vero perché ogni elemento, abbiamo visto, appartiene alla propria classe di equivalenza.
Date due classi di equivalenza che sono diverse tra loro,
l'intersezione, vista come insiemi, è vuota [a]R ∩ [a']R = Ø.
Questo è vero perché abbiamo detto che in una relazione
o si avvera il fatto che a sia in relazione con un elemento b,
o a non è il relazione con un elemento b.
Quindi possiamo dire tranquillamente che i due insiemi sono disgiunti.
Infine ogni elemento dell'insieme A appartiene ad una,
ed una sola classe di equivalenza.
L'ultima proprietà è che se a e a' sono in relazione R,
ovviamente le due classi di equivalenza coincidono
grazie alla proprietà transitiva di cui gode la relazione di equivalenza,
perché se prendiamo un elemento b che è in relazione R con a [bRa]
e dove anche a è in relazione con a' [aRa'],
per la proprietà transitiva anche b risulta essere in relazione con a' [bRa']
e quindi appartiene alla sua stessa classe di equivalenza.
Andiamo a definire la "relazione d'ordine" (o "ordinamento").
Un insieme ordinato è una coppia (A,R) dove A è un insieme non vuoto
e R è una relazione binaria che gode di tre proprietà:
1. Antiriflessiva, cioè che a non è in relazione con a, qualunque sia l'elemento dell'insieme;
2. Antisimmetrica, cioè che se a è in relazione con a',
a' non è in relazione con a, qualunque elemento io consideri dell'insieme A;
3. Transitiva, cioè se a è in relazione con a' e a' è in relazione con ā,
allora a è in relazione con ā.
Equivalentemente a questa definizione possiamo fornire
altre tre proprietà della relazione per dire che l'insieme è ordinato.
Se una relazione binaria gode della proprietà riflessiva,asimmetrica e transitiva,
potremmo dire che la relazione è comunque di ordine.
Riflessiva sempre che ogni elemento è in relazione con se stesso;
asimmetrica, se a è in relazione con a' e a' è in relazione con a,
allora a è uguale ad a';
infine la transitività che abbiamo visto più volte.
Una relazione d'ordine si indica generalmente con questo simbolo <, il simbolo del minore.
L'ordinamento, la relazione d'ordine, si dice "totale" se ogni elemento dell'insieme è confrontabile con gli altri.
Quindi l'insieme A con la relazione di ordine (A, <) minore
è totalmente ordinato se e solo se,
o l'elemento a è minore o uguale ≤ di a',
oppure accade che l'elemento a' è minore o uguale ≤ di a,
qualunque siano i due elementi che scelgo all'interno dell'insieme A.
In un insieme ordinato ha senso dare la definizione di minimo e di massimo,
in particolare un elemento A si dice "minimo"
se è più piccolo di ogni altro elemento dell'insieme;
invece si dice "massimo" se è più grande di ogni altro elemento dell'insieme.
Si indicano rispettivamente con il minimo di A (dove A è l'insieme) e massimo di A.
Forniamo ora la proposizione
"esiste ed è unico (∃ questo simbolo indica in maniera sintetica la frase "esiste ed è unico")
il minimo o anche il massimo dell'insieme"
e andiamo a dimostrarla:
se per assurdo esistessero due minimi a e a',
si avrebbe, proprio per definizione di minimo "è l'elemento più piccolo",
che a è minore o uguale di a' (a≤a'),
ma anche che a' è minore o uguale di a (a'≤a) perché sono entrambi minimi.
Per la proprietà asimmetrica
a' è esattamente uguale ad a (a'=a).
Partendo da un assurdo giungiamo all'uguaglianza:
necessariamente il minimo, se esiste, è unico.
Dato un insieme ordinato S con la relazione minore
si dice che questo insieme è "ben ordinato"
e la relazione minore si dice di "buon ordine"
se ogni parte, ogni sottoinsieme, dell'insieme di definizione A
risulta essere dotata di minimo.
Un insieme ben ordinato risulta essere anche totalmente ordinato.
Dato quindi una parte X inclusa in A (X⊆A) e un elemento a appartenente all'insieme A (a∈A),
si dice "maggiorante" o "minorante" di X
se a è maggiore o uguale di ogni elemento x appartenente all'insieme X maiuscolo.
In tal caso X si dice "superiormente limitato".
Analoga definizione se parliamo della parte "inferiormente limitato", quindi del minorante.
Dato un sottoinsieme X di A
un elemento è un maggiorante se è più grande di tutti gli elementi dell'insieme
ma non appartiene necessariamente ad X
(in seguito vedremo perché),
o è un minorante se è più piccolo di tutti gli elementi di X.
Abbiamo detto che l'insieme si dice limitato
"superiormente" se esiste il maggiorato,
"inferiormente" se esiste il minorante.
Il più piccolo dell'insieme dei maggioranti viene chiamato "estremo superiore",
mentre il più grande dell'insieme dei minoranti è detto "estremo inferiore".
Si indicano corrispettivamente con sup di X (supX) e inf di X (infX).
Si ottiene dunque che se il sup, il più piccolo dei maggioranti,
appartiene all'insieme X,
allora il sup coincide con il massimo.
Analogamente, se l'estremo inferiore appartiene al sottoinsieme X,
allora l'estremo inferiore coincide esattamente con il minimo.
Andiamo a dire brevemente che se X è l'estremo superiore,
quindi se x è maggiore o uguale di ogni elemento y appartenente ad X,
nel caso in cui esiste una z appartenente ad X,
tale che z è maggiore o uguale di tutte le y appartenenti ad X,
allora z, già in partenza, deve essere necessariamente maggiore di x.
Questo perché x è il minimo dei maggioranti.
Analogamente possiamo fare lo stesso per l'estremo Inferiore:
se x è l'estremo inferiore, per definizione x è sicuramente più piccolo
di tutti gli elementi appartenenti all'insieme X maiuscolo.
Nel momento in cui esiste una z più piccola di tutti gli elementi di x,
allora z deve essere necessariamente più piccola dell'estremo inferiore
perché l'estremo inferiore in considerazione è definito come il massimo dei minoranti.