In questa lezione ci occuperemo della relazione tra insiemi.
L'obiettivo della lezione sarà lo studio delle possibili relazioni
che possiamo andare a definire tra gli insiemi,
ma anche tra gli elementi dello stesso insieme.
Daremo una definizione intuitiva delle relazioni tra insiemi
e poi ci occuperemo di dare un'introduzione formale di queste relazioni che esistono.
Forniremo anche alcuni esempi di relazioni, quelle principali,
diremo come può essere rappresentata una relazione tra insiemi
e andremo a definire quelle che sono le relazioni fondamentali tra gli insiemi
con un occhio particolare per la relazione binaria,
la relazione di equivalenza e la relazione d'ordine.
Andiamo a dare una definizione intuitiva di quelle che sono le relazioni tra gli insiemi.
Consideriamo due insiemi A e B non vuoti:
assegnare una relazione tra l'insieme A è l'insieme B
equivale ad associare una legge
che mette in relazione ogni elemento di A
con gli elementi di B.
In base a questa legge ad ogni elemento di A può essere associato uno o più elementi di B.
Come definizione formale possiamo dire che dati due insiemi A e B non vuoti
e una proposizione, cosa intendiamo in matematica per proposizione? *
Una frase che può essere vera o falsa,
una frase in particolare che riferita agli insiemi abbia un significato inequivocabile e non sia ambigua.
Esiste una relazione tra l'insieme A e l'insieme B,
una relazione di A in B tale che
se per ogni coppia ordinata (a,b)
con l'elemento a appartenente ad A (a ∈ A) e l'elemento b appartenente a B (b ∈ B),
sussiste uno, ed uno solo dei seguenti fatti:
o a è associato a b, mediante la proposizione,
o a non è associato a b, mediante la proposizione.
Quando un elemento a appartenente all'insieme A (a∈A) è in relazione con un elemento b appartenente a B (b∈B),
si scrive: aRb e si legge a è in relazione con b.
La relazione R è spesso chiamata anche corrispondenza.
L'insieme di partenza A si chiama dominio della relazione,
mentre l'insieme di arrivo B si chiama codominio della relazione.
Diamo un esempio di una relazione.
Consideriamo l'insieme A, costituito dagli elementi {4,7,9}
e l'insieme B costituito dagli elementi {1,2,3}
e consideriamo la relazione R data dalla proposizione "è il quadrato di".
Abbiamo detto che l'insieme A si chiama dominio della relazione,
per cui l'insieme A = {4,7,9} sarà il dominio, mentre l'insieme B = {1,2,3}
sarà il codominio della relazione.
Le coppie che soddisfano la relazione
sono le coppie ordinate (4,2) e (9,3)
perché 4 è il quadrato di 2 e 9 è il quadrato di 3.
Possiamo scriverle sia come coppie ordinate,
ma anche scrivere 4 in relazione con 2 (4R2) e 9 in relazione con 3 (9R3).
L'elemento b è detto immagine dell'elemento a mediante R,
mentre a è detto controimmagine di b mediante R.
Nel precedente esempio l'insieme delle immagini è dato da {2,3},
mentre quello delle controimmagini da {4,9}.
La nostra relazione può essere espressa
anche come un insieme di coppie che soddisfano la proposizione,
cioè l'insieme costituito dalle coppie (a,b),
dove a appartiene all'insieme A (a∈A) e b appartiene all'insieme B (b∈B),
tali che a è in relazione con b (aRb).
Notiamo che utilizziamo la rappresentazione di prodotto cartesiano per dire che le coppie sono ordinate:
il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento appartiene al secondo insieme.
Si osserva che le coppie che soddisfano la relazione R
formano un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB,
cioè dell'insieme A per l'insieme B.
Consideriamo ora un sottoinsieme G del prodotto cartesiano AxB
e definiamo la relazione come una coppia:
prodotto cartesiano AxB, ovvero le coppie ordinate, e il sottoinsieme G (AxB,G).
Graficamente diremo che la relazione R ha grafico G.
Forniamo degli esempi
di quelle che sono le relazioni fondamentali.
Consideriamo gli insiemi A e B sempre non vuoti,
chiamiamo "corrispondenza (o relazione) vuota"
la coppia A prodotto cartesiano B (AxB)
e come grafico consideriamo l'insieme vuoto Ø.
Questa relazione esprime il fatto che a non è in relazione con b
qualunque sia l'elemento a appartenente all'insieme A (a∈A)
e l'elemento b appartenente all'insieme B (b∈B).
Sempre considerati i due insiemi A e B diversi dal vuoto (≠Ø), chiameremo invece
"corrispondenza totale" la coppia costituita da prodotto cartesiano AxB,
prodotto cartesiano AxB (AxB, AxB).
Il grafico della relazione è esattamente tutto il piano cartesiano.
Questa corrispondenza esprime che ogni elemento di A è in relazione con ogni elemento di B.
Praticamente tutte le coppie ordinate soddisfano la relazione R.
Andiamo andare un'altra definizione, e questa sarà importante perché spesso molto utilizzata in matematica:
la relazione identica, o anche chiamata "identità".
La relazione identica
è data dal prodotto cartesiano dell'insieme A non vuoto (A≠Ø)
per se stesso R= (AxA).
Con il delta (Δ) di A
andiamo ad indicare la diagonale del primo e del terzo quadrante del piano cartesiano.
Nel piano cartesiano vado dunque a considerare la bisettrice del primo e del terzo quadrante
e l'insieme lo considero moltiplicato per se stesso.
La relazione identica mi dice quindi che
due elementi di A: x e y sono in relazione identica
se e solo se sono uguali.
Infine possiamo andare a definire una relazione indotta:
vado a considerare due insiemi A e B diversi sempre dal vuoto (≠Ø)
e una data relazione R uguale al prodotto cartesiano di AxB
con grafico G (AxB,G).
A questo punto per andare a definire una relazione indotta vado a considerare i sottoinsiemi
A' incluso in A (A'⊆A) e B' incluso in B (B'⊆B)
e indico con G' l'intersezione del prodotto cartesiano di A', B'
con il sottoinsieme G del prodotto cartesiano AxB.
Chiameremo corrispondenza indotta la relazione R'
che è definita nel prodotto cartesiano A'xB' e avrà come grafico G'.
Tale relazione è così definita:
se prendo due elementi a' appartenente all'insieme A' (a'∈A')
e b' appartenente all'insieme B' (b'∈B'),
diremo che a' è in relazione R' con b' (a'R'b')
se e solo se a' è in relazione R con b' (a'Rb').
L'induzione avviene perché due elementi sono in relazione R'
se e solo se sono in relazione R.
E' come se si trasportasse dall'insieme più grande (AxB)
all'insieme più piccolo, o sottoinsieme, (A'xB').
Abbiamo anche la possibilità di definire la relazione inversa.
Il concetto di relazione è particolarmente importante
perché ci riporterà al concetto di funzione, è alla base del concetto di funzione;
è importante assorbirne tutte le proprietà e comprenderne a fondo il funzionamento.
La relazione R definita negli insiemi A e B,
nel prodotto cartesiano (AxB) hanno sempre A e B non vuoti (≠Ø), con grafico G,
dicesi relazione inversa di questa relazione R, la relazione R a -1
definita nel prodotto cartesiano (BxA)
e avrà grafico G a -1,
dove per G a -1 intendiamo le coppie ordinate {(b,a)}
tali che la coppia ordinata {a,b} appartiene a G.
Ovviamente valgono le seguenti relazioni:
la relazione inversa di una relazione inversa è la relazione di partenza R;
l'inversa dell'identità invece è l'identità stessa.
Per quanto riguarda la relazione totale e la relazione vuota,
l'inversa della relazione totale è ancora la relazione totale e, per definizione, il concetto è chiaro
poiché la relazione totale mette
in corrispondenza ogni elemento di A con ogni elemento di B;
la relazione vuota non mette alcun elemento di A in corrispondenza con alcun elemento di B
quindi anche nel caso della relazione vuota, della corrispondenza vuota, l'inversa sarà uguale alla relazione vuota stessa.
Vediamo quali sono i possibili modi per rappresentare graficamente una relazione.
Ne abbiamo vari...
Una relazione può essere rappresentata per elencazione,
più o meno come si rappresentano gli insiemi.
La relazione R può essere rappresentata come
l'insieme delle coppie ordinate che soddisfano la proposizione,
per cui la proposizione ha un senso.
{(a,b);(c,d);(e,f)} sono ordinate,
il primo coefficiente appartiene al dominio, il secondo coefficiente appartiene al codominio.
Un secondo tipo di rappresentazione è quella chiamata sagittale o diagramma a frecce.
Mostriamo questa rappresentazione mediante un esempio:
consideriamo gli insiemi A= {4,7,9}
e B costituito dagli elementi {1,2,3}.
Li rappresentiamo graficamente come due cerchi
in cui andiamo a considerare gli elementi indicati con dei puntini
e consideriamo sempre la relazione R definita come "è il quadrato di".
E' ovvio allora che legheremo con delle frecce gli elementi
tali che il primo è il quadrato del secondo.
Infatti, ad esempio, nella prima freccia
quattro è il quadrato di due, analogamente nella seconda, nove è il quadrato di tre.
Possiamo anche rappresentare la relazione su un piano cartesiano,
con un diagramma cartesiano.
Sull'asse delle x indichiamo gli elementi del dominio A
e sull'asse delle y indicheremo gli elementi del codominio B.
Mostriamo questa rappresentazione con l'esempio precedente:
consideriamo A costituito dagli elementi {4,7,9}
e B costituito dagli elementi {1,2,3},
la relazione R considerata invece definita dalla proposizione "è il quadrato di"
Sull'asse delle x riporteremo gli elementi {4,7,9} di A
e sull'asse delle y gli elementi {1,2,3}.
Ovviamente andremo a definire sul piano cartesiano solo quegli elementi,
quelle coppie, che mi soddisfano la relazione R, cioè "è il quadrato di".
In questo caso lo indicheremo con un punto del piano cartesiano.
Dunque (4,2) perché 4 è il quadrato di 2
e (9,3) perché 9 è il quadrato di 3.
L'ultima rappresentazione è quella a tabella a doppia entrata:
sulla prima riga andiamo a definire gli elementi di B, quindi {1,2,3},
(fatto sempre con l'esempio dove l'insieme A
è costituito dagli elementi {4,7,9} e l'insieme B è costituito dagli elementi {1,2,3})
e sulla prima colonna andiamo a definire quelli che sono gli elementi dell'insieme A, cioè {4,7,9}.
Apporremo una "x" nell'incrocio tra la colonna e la riga
che mi soddisfa la relazione R="è il quadrato di".
In questo caso apporremo qui una "x" perché 4 è il quadrato di 2 e
analogamente nell'ultima colonna ultima riga e nell'ultima riga,
andremo a mettere una "x" perché 9 è il quadrato di 3.