Introduciamo ora le disequazioni esponenziali e logaritmiche.
Se l'incognita compare come esponente di una potenza in almeno uno dei membri della disequazione
essa si dirà esponenziale e assumerà una forma di questo tipo (in evidenza)
con a(x) e b(x) polinomi di x nella variabile x.
Si distinguono due casi.
Consideriamo il caso a maggiore di 1:
permane il segno della disequazione
nel momento in cui uguagliamo i polinomi,
poiché abbiamo una disequazione tra due polinomi nella stessa base,
possiamo confrontare gli esponenti
e il segno della disequazione tra gli esponenti rimarrà inalterato,
uguale a quello della disequazione di partenza.
Proviamo a risolvere una disequazione di questo tipo e a dare un esempio di quanto abbiamo appena detto.
Consideriamo la disequazione: 2 elevato a x al quadrato meno 5x più 6 maggiore di 1.
abbiamo visto che essi devono essere funzioni esponenziali nella stessa base
ma qui abbiamo 1.
Basterà ricordare che uno corrisponde a 2 alla 0,
poiché la base è maggiore di 1
(siamo esattamente nel caso che abbiamo citato prima)
possiamo confrontare gli esponenti
lasciando inalterato il verso della disequazione che in questo caso è positivo,
per cui questo polinomio di secondo grado è positivo.
Per risolvere una disequazione di secondo grado
troviamo le soluzioni dell'equazione associata di secondo grado,
che in questo caso saranno 2 e 3,
il delta è positivo perché abbiamo due radici reali,
il segno della disequazione è positivo e quindi cerchiamo le x che ci rendono positivo il polinomio,
dobbiamo prendere i valori esterni all'intervallo individuato dalle due radici.
Le radici sono x minore di 2 e x maggiore di 3,
i valori 2 e 3 non li prendiamo, sono esclusi
perché si richiede nella disequazione di partenza la stretta disuguaglianza,
se ci fosse stato l'uguale
avremo potuto includere anche i valori 2 e 3.
Se la base a è minore di 1
possiamo agire in due modi diversi.
Consideriamo il primo modo:
ricordato che dato un numero n minore di 1
e passando ai reciproci
1/n è maggiore di 1 (il reciproco di un numero minore di 1 è maggiore di 1)
e considerato che 1/n tutto elevato alla x
corrisponde a 1/n elevato alla x ovvero n elevato alla -x,
possiamo prendere come base il reciproco
e contemporaneamente cambiare il segno all'esponente
e procedere in maniera del tutto analoga alla precedente.
Consideriamo il secondo modo:
ricordando che, se la base è minore di 1,
il segno della disequazione cambia nel momento in cui passo agli esponenti.
Se abbiamo a elevato ad a(x) minore o maggiore di a elevato a b(x),
poiché a è minore di 1,
quando facciamo il parallelo tra i due esponenti
devo cambiare di segno
(se minore sarà maggiore, se maggiore sarà minore).
Analizziamo un esempio e consideriamo la disequazione: 1/2 elevato alla x minore di 8.
Utilizziamo il primo metodo, cioè cambiamo di segno l'esponente e passiamo al reciproco
ottenendo 2 elevato a meno x minore di 2/3.
In questo caso la base è positiva,
ho una disequazione tra due esponenti con la stessa base,
e il segno della disequazione permane.
Questo significa che -x (in questo caso il segno della disequazione è minore)
sarà minore di 3.
Cambiando il segno della x e quindi il verso della disequazione
otterremo come soluzione x maggiore di meno 3.
Utilizziamo il secondo metodo e vediamo che la radice risulta essere la stessa.
Dobbiamo trasformare tutto in base 1/2,
8 è uguale a 2 al cubo
che possiamo scrivere come 1/2 alla -3 per le proprietà delle potenze,
il che vuol dire che è uguale a 1/2 elevato a -3.
La disequazioni di partenza diventerà
1/2 elevato a x minore di 1/2 elevato a -3,
Nella stessa base, segno minore perché la base è minore di 1 (pari 1/2),
possiamo confrontare gli esponenti ma cambiando il verso della disequazione
da cui si ottiene x maggiore di -3
cioè quanto ci aspettavamo ed ottenuto nell'altro metodo.
Se l'incognita compare come argomento di un logaritmo
in almeno uno dei membri della disequazione,
la disequazione si dirà logaritmica.
Per la risoluzione di questo tipo di disequazioni
ci riportiamo a due casi distinguendo quando la base è maggiore o è minore di 1.
Determinante sia per l'esponenziale che per il logaritmo il valore della base.
Consideriamo logaritmo in base a
di un certo polinomio a(x) maggiore o minore di 0
(questa è l'espressione più semplice).
Consideriamo il primo caso
logaritmo in base a di a elevato ad x maggiore di 0,
se la base è maggiore di 1 sappiamo che
il logaritmo è maggiore di 0 quando l'argomento è maggiore di 1.
Questo si vede facilmente nel grafico
perché quando l'argomento è maggiore di 1
il grafico è al di sopra dell'asse delle ascisse
e possiamo scrivere che a(x) ovvero l'argomento
deve essere maggiore di 1.
Da qui ottenere le radici che saranno della mia disequazione logaritmica.
Nel primo caso
se il logaritmo è maggiore di 0 e la base è minore di 1,
dal grafico sappiamo che il logaritmo è maggiore di 0,
quindi si trova al di sopra dell'asse delle ascisse,
quando l'argomento (il valore evidenziato)
è compreso fra 0 e 1
e anche in questo caso bisognerà imporre
il polinomio a(x) compreso tra 0 e 1
che equivale a risolvere il sistema,
a vedere dove a(x) è maggiore di 0 e dove è minore di 1.
Consideriamo il secondo caso
quando chiediamo che il logaritmo sia minore di 0,
se la base è maggiore di 1, sempre utilizzando il grafico
(di grande supporto sia per l'esponenziale che per il logaritmo)
sappiamo che ciò accade quando l'argomento è al di sotto dell'asse delle ascisse
ovvero compreso tra 0 e 1.
A questo punto basterà imporre a(x) compreso tra 0 e 1
che equivale a risolvere il sistema
dove a(x) è maggiore di 0 e a(x) è minore di 1.
Infine nell'altro caso
sempre quando richiediamo il logaritmo minore di 0
ma questa volta con la base minore di 1,
sappiamo che il logaritmo è minore di 0
ovvero è al di sotto dell'asse delle ascisse,
quando l'argomento è maggiore di 1.
Basterà imporre la condizione a(x) maggiore di 1,
risolvere questa disequazione
e ottenere le radici della disequazione logaritmica.