In questa lezione parleremo di equazioni e disequazioni particolari.
Il termine "particolari" serve per accomunare un insieme di equazioni,
come le equazioni logaritmiche, esponenziali
che non sono normali equazioni,
e la stessa cosa vale per le disequazioni.
Lo scopo della lezione è un richiamo
a queste equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali
e alla loro risoluzione.
Tratteremo, in primo luogo, le equazione esponenziali e logaritmiche
e poi passeremo alle disequazioni.
Diamo una breve definizione:
dicesi equazione esponenziale un'equazione nella quale
l'incognita compare come esponente in almeno uno dei suoi termini
cioè a elevato a x uguale b. con a maggiore di 0
perché la base della funzione deve essere positiva,
a diverso da 1, b maggiore di 0.
L'equazione esponenziale a elevato ad x uguale b ha una sola soluzione
positiva se a, b sono entrambi maggiori di 0 o minori di 1,
negativa se uno tra i due (a,b) è maggiore di 1 e l'altro è minore di 1.
Pensata come curva, la funzione y uguale a elevato ad x ha il seguente grafico (in figura)
è sicuramente sempre positiva
perché i valori della y sono nel primo e nel secondo quadrante,
inoltre se a è maggiore di 1 ha un andamento crescente
come si evince in questa parte del grafico,
se a è compreso tra 0 e 1 ha un andamento decrescente.
Notiamo che per x uguale a 0
in ambo i casi l'espressione darà il valore 1.
La soluzione dell'equazione esponenziale a elevato ad x uguale b
(tenendo conto anche del grafico che ci aiuta molto nella risoluzione delle equazioni),
con a maggiore di 0, a diverso da 1, b maggiore di 0,
si dice logaritmo nella base a del numero b (che viene detto argomento)
e si indica con x uguale log in base a di b.
Da quanto detto si osserva che
non esistono logaritmi in base 0 o in base 1
perché a è diverso da 1, a maggiore di 0 per le ipotesi;
non esiste il logaritmo di 0 o di numeri negativi
abbiamo visto che generalmente siamo sempre nella parte superiore del grafico,
e il logaritmo di 1 vale 0 qualunque sia la base
perché qualunque numero elevato a 0 da 1.
Vediamo che il logaritmo e l'esponenziale,
che sono due funzioni elementari e importanti nello studio della matematica e in particolare dell'analisi,
sono due funzioni strettamente legate tra loro
in particolare sono l'una l'inversa dell'altra.
Dalla definizione di logaritmo si ha che
la base a elevato a logaritmo nella stessa base a dell'argomento b è uguale b,
per cui se si eleva una base al logaritmo nella stessa base di un qualunque numero ottengo il numero.
Questo si spiega perché a elevato ad x è uguale b
per x che è uguale al logaritmo in base a di b.
Da qui si vede anche che le due funzioni sono legate tra loro
e che sono l'una l'inversa dell'altra.
Diamo un esempio risolvendo l'equazione seguente:
27 elevato ad x più 4 è uguale a 3 per 9 elevato ad x più 2,
dobbiamo riportare tutto nella stessa base
osservando che 27 è uguale a 3 al cubo e 9 è uguale a 3 al quadrato
e ricordando la proprietà delle potenze,
ovvero che il prodotto di due potenze nella stessa base è uguale
a una potenza che ha per base la stessa base
e per esponente la somma degli esponenti.
Inoltre è necessario ricordare anche che la potenza di una potenza
è una potenza che ha per base la stessa base
e per esponente il prodotto degli esponenti.
Utilizzando queste due proprietà delle potenze possiamo scrivere che:
3 elevato a 3 per x più 4 è uguale a 3 elevato a 2 per x più 2 più 1.
Essendo uguali le basi, infatti abbiamo tre e tre,
possiamo uguagliare gli esponenti e si ottiene
3 che moltiplica x più 4 uguale a 2 per x più 2 più 1,
che corrisponde ad una equazione di primo grado, di facile risoluzione e che darà x uguale 7
ovvero la soluzione dell'equazione data.
Diamo un altro esempio considerando l'equazione:
radice quinta di 16/radice x di 8 uguale a radice decima di 2 elevato a 5 più x/ radice cubica di 2 elevato ad x.
Per risolvere questa equazione
bisogna ricordare alcune proprietà delle radici e delle potenze.
Si ricorda che la radice m-esima di x alla n corrisponde ad x elevato ad n su m,
l'esponente o indice del radicale si mette come numeratore,
in questo caso si osserva anche che 16 è uguale a 2 alla quarta e 8 a 2 al cubo.
Utilizzando tutte queste proprietà e le osservazioni fatte in questo caso,
riduciamo in altra forma l'espressione di partenza
e otteniamo che 2 elevato a 4/5 fratto 2 elevato a 3/x
è uguale 2 elevato a 5 più x/10 fratto 2 elevato a x/3.
Ricordiamo un'altra proprietà delle potenze
cioè che il rapporto di potenze nella stessa base
è uguale alla potenza che ha per base la stessa base
e per esponente la differenza degli esponenti.
Ricordando questa proprietà ed applicandola all'espressione qui riportata
quello che otteniamo è un'espressione di questo tipo (evidenziata).
Ancora una volta abbiamo un'eguaglianza di due potenze nella stessa base
e possiamo uguagliare gli esponenti da cui estrarre la radice.
Dall'uguaglianza degli esponenti si ottiene un'equazione di secondo grado
che, risolta, avrà delta maggiore di 0
quindi due radici reali che sono rappresentate da 3 e -30/7, ma la seconda non è verificata perché perde di significato il radicando con la x come indice della radice,
e si accetterà come soluzione solamente x con uno uguale a 3. Considerate le soluzioni, le radici dei polinomi che ottengo, bisogna verificare che tutte le espressioni presenti abbiano significato.
Un'equazione si dice logaritmica
se l'incognita compare almeno in uno dei termini o argomenti di un logaritmo.
La più semplice equazione logaritmica è del tipo:
logaritmo in base a di a(x) uguale a b,
dove a è sempre maggiore di 0
per quanto abbiamo visto nel grafico dell'esponenziale
ricordando che il logaritmo e l'esponenziale sono legati
a è diverso da 1,
a(x) è un polinomio nella variabile x.
Poiché l'argomento di un logaritmo deve essere maggiore di 0
si tratta di un polinomio nel quale la variabile x
può assumere tutti quei valori che rendono positivo il polinomio
(su questo bisogna stare attenti quando risolviamo le equazioni e le disequazioni).
Se il polinomio fosse negativo
sappiamo che non esistono logaritmi di numeri negativi,
quindi è fondamentale che il polinomio risulti positivo
e che si scelgano i valori delle x che rendano positivo l'argomento del logaritmo.
Per definizione di logaritmo
a(x) risulta uguale ad a elevato a b,
le soluzioni di quest'ultima equazione saranno
le soluzioni delle equazioni logaritmiche di partenza.
Analogamente a quanto fatto per l'esponenziale
bisogna verificare se le soluzioni ottenute
rendano di senso compiuto tutte le espressioni presenti.
Un altro tipo di equazione logaritmica è la seguente:
logaritmo in base a del polinomio a(x) è uguale a logaritmo in base a del polinomio b(x),
con a maggiore di 0 e a diverso da 1.
In questo caso, essendo i logaritmi nella stessa base,
possiamo uguagliare gli argomenti,
ma dobbiamo anche tener presente che i due argomenti devono essere positivi
perché non esistono logaritmi di numeri negativi.
Facciamo un esempio risolvendo l'equazione presente:
si fa notare che con log con la lettera maiuscola
si indica il logaritmo in base 10, per questo non è riportata la base
perché per convenzione sappiamo essere logaritmo in base 10.
Per la proprietà dei logaritmi
il logaritmo in base a di b alla n è uguale a n per logaritmo in base a di b,
e possiamo scrivere, applicando questa proprietà all'equazione di partenza,
due volte il Logaritmo del valore assoluto di 7x meno 9
non conoscendo il valore di x
è necessario mettere il valore assoluto
perché non sappiamo se quanto esiste all'interno del valore assoluto è positivo o è negativo.
Mettendo il valore assoluto si ha la certezza che
che tutta la quantità è positiva
perché il valore assoluto di un numero è sicuramente positivo.
Da qui nasce la necessità di mettere il valore assoluto
per non incorrere in errore e calcolare il logaritmo di un numero negativo
che sappiamo non esistere.
Semplificando l'espressione ottenuta per 2
e ricordando che la somma dei logaritmi è il logaritmo del prodotto
(altra proprietà fondamentale da tenere presente quando si lavora con i logaritmi),
otteniamo un'espressione di questo tipo (indicata in figura).
Ricordiamo che il logaritmo vale 1 quando l'argomento è uguale alla base
e questa è un'altra proprietà dei logaritmi.
Quindi il logaritmo di a nella base a è 1
in questo caso la base è 10 quindi
7x meno 9 per 3x meno 4 deve essere uguale a 10,
quindi l'argomento uguale alla base.
Da qui si ricava una condizione fondamentale per calcolare la x
che ridotta in forma normale assume un'espressione di questo tipo (indicato in figura).
Risolvendo l'equazione con i dovuti metodi risolutivi
otteniamo come risultato le possibili radici dell'equazione di secondo grado,
in questo caso si tratta di due radici reali 2 e 13/21,
che sono entrambe radici dell'equazione data
perché, sostituite nell'equazione data,
tutte le espressioni presenti nell'equazione hanno senso
e viene verificata l'identità.
Le due radici sono entrambe accettate.