Introdurrà le disequazioni irrazionali.
Una disequazione irrazionale è una disequazione nella quale l'incognita si trova sotto il segno di radice
(come in figura).
Poiché le radici pari esistono solo se hanno l'argomento positivo,
quindi se l'elemento posto sotto radice è maggiore di 0,
per la risoluzione di questi disequazioni è necessario distinguere
i casi in cui l'incognita che si trova sotto radice
sia di indice pari o di indice dispari.
Consideriamo le radici di segno pari.
Le disequazioni possono presentarsi nella forma
maggiore uguale o minore uguale.
Nel primo caso la risoluzione della disequazione equivale alla soluzione dei due sistemi riportati in figura.
Cosa vediamo in questi sistemi?
Nel primo sistema si impone prima l'esistenza di zero, quindi A(x) maggiore o uguale a 0,
si considera il caso che sia positivo (seconda disequazione)
e si eleva poi, nella terza disequazione, entrambi i membri a potenza n-esima.
Nel secondo sistema, si pone sempre l'esistenza della radice
e si considera il caso in cui il valore di tutto il radicale sia negativo (B(x)<0).
Il primo sistema si può ridurre a due disequazioni considerando che la prima condizione,
la condizione di esistenza, è "assorbita" già dal primo sistema
e dalla terza disequazione perché se A è maggiore di una potenza con indice pari,
sempre maggiore di zero, allora sicuramente sarà anche A maggiore di zero.
I due sistemi si possono ridurre dunque come riportati in figura.
Nel caso in cui la radice n-esima di A(x) è minore o uguale di B(x)
basterà risolvere un unico sistema dato
sempre dall'esistenza della radice,
B(x) maggiore o uguale di zero
e infine eleviamo a potenza n-esima.
Quando la radice è di segno dispari invece
la disequazione irrazionale con radice di indice dispari non necessita di alcuna discussione
in quanto la radice dispari non esige discussioni sull'argomento,
può essere qualsiasi ed è sempre verificata, ammettendo sempre soluzioni.
Basta elevare entrambi i membri alla potenza.
Nel caso dell'esempio: radice cubica di (x+1) maggiore o minore di 4,
elevando al cubo ambo i membri ottengo x+1 maggiore o minore di 64, quindi x maggiore o minore di 63.