Introdurremo in questa lezione delle disequazioni particolari, le disequazioni fratte
e come risolverle. Il primo metodo è quello che merita più attenzione.
Sono disequazioni razionali fratte
tutte le disequazioni che sono riducibili ad una delle due forme rappresentate in figura,
dove A(x) e B(x) sono polinomi nella variabile x.
Affinché tali disequazioni siano soddisfatte
è necessario e sufficiente che i due polinomi assumano,
nel primo caso con segno maggiore di zero, segno concorde,
e nel secondo caso, con segno minore, segno discorde.
In particolare nel caso maggiore di 0
basta risolvere i due sistemi evidenziati;
nel primo sistema cerco dove si trovano i polinomi positivi,
mentre contemporaneamente, nel secondo dove siano quelli negativi.
Nel caso minore di zero i segni devono essere discordi (come già detto in precedenza)
ed è sufficiente che vengano soddisfatti i due sistemi:
il primo con primo polinomio positivo e secondo negativo,
e il secondo con primo polinomio negativo e secondo positivo.
Anche in questo caso la risoluzione grafica ci fornisce supporto
aiutandoci nella risoluzione delle disequazioni fratte.
Vediamo un esempio.
Considero la disequazione fratta (con incognita presente al denominatore),
riduco la disequazione e la semplifico effettuando il minimo comune multiplo
e ottengo l'espressione cerchiata in figura
ricordando che per il primo ed il secondo principio di equivalenza
ho la possibilità di portare tutto al primo membro.
Il polinomio al numeratore è un polinomio di primo grado,
mentre quello al denominatore è di secondo.
Cambiando il segno del numeratore e quello di (3-x) ottengo un'espressione come quella evidenziata
(effettuo questi passaggi sempre perché in questo modo semplifico la disequazione).
Dobbiamo vedere dove i polinomi sono di segno concorde
perché in questo caso il segno della disequazione è positivo e dunque vado a studiare dove i due polinomi concordano nel segno.
Risolviamo i sistemi qui riportati
esaminati contemporaneamente sia come positivi che come negativi.
Studiamo singolarmente i due polinomi, trovandone gli zeri e cercando di capire dove sono positivi e dove negativi.
Il polinomio 5x-10, esaminato come positivo e negativo, è di primo grado;
il segno deve essere concorde con quello del primo coefficiente,
pertanto il valore della x diventa x maggiore di b/a,
in questo caso 10/5 e quindi x maggiore di 2.
Nel caso del segno minore, la disequazione è verificata nel caso di x minore di 2.
Andiamo a studiare il secondo polinomio, di secondo grado, prodotto di due polinomi.
Il caso in esame ci rende la ricerca delle soluzioni più semplice e veloce
perché da (2x-1) per (x-3) uguale a 0,
e per la legge di annullamento del prodotto, ottengo due equazioni (2x-1=0 e x-3=0)
di cui è possibile conoscere facilmente le radici, ovvero x1=1/2 e x2=3.
Se vogliamo che il segno del polinomio sia positivo
scelgo i valori esterni all'intervallo: x minore di 1/2 e x maggiore di 3.
Nel caso negativo per risolvere il secondo sistema,
scegliamo i valori interni all'intervallo.
Riportando graficamente il tutto
e associando dove è negativo il segno meno
e dove è positivo il segno più,
ottengo una facile risoluzione scegliendo
(poiché di partenza devo prendere i valori maggiori di zero)
i valori dove, attraverso il prodotto dei segni, avrò come risultato il segno +.
Vediamolo nello specifico.
Riporto sulla linea le radici considerate:
1/2, 2 e 3.
Una delle equazion è soddisfatta
per x maggiore di 2,
quindi traccerò una linea continua alla quale assocerò il segno +;
mentre dove non è soddisfatta traccerò una linea tratteggiata associando valore -.
Analogamente anche per la rappresentazione dell'equazione di secondo grado:
so che è soddisfatta positivamente per i valori esterni all'intervallo,
dunque traccerò la linea continua con segno + nei punti evidenziati in figura,
mentre la linea tratteggiata la traccerò nel mezzo
dove sarà negativo con segno -.
Moltiplico i segni posti sulle singole linee tracciate:
meno per più fa meno (primo intervallo);
meno per meno fa più (secondo intervallo);
più per meno fa meno (terzo intervallo)
e più per più fa più (quarto intervallo).
Poiché la disequazione fratta doveva essere positiva, vado a scegliere come soluzioni quelle contraddistinte dal segno +.
La disequazione fratta è soddisfatta per x compreso tra 1/2 e 2 e per x maggiore di 3.
Il secondo metodo è quello di risolvere i due sistemi separatamente per poi unirne le soluzioni.
O li risolvo contemporaneamente andando a studiare il doppio segno dei singoli polinomi
oppure li risolvo come due sistemi differenti e vado ad unire le soluzioni.
Anche in quest'ultimo caso il metodo grafico ci sarà di ausilio.
A(x) maggiore di 0 e B(x) maggiore di 0 ha soluzioni
(lo vediamo dal grafico riportando le radici sulla linea);
la prima soluzione, quella di primo grado, è positiva per x maggiore di 2
(linea tratteggiata e poi linea continua);
la seconda soluzione, della disequazione di secondo grado, è verificata per i valori esterni
(linea continua per i valori esterni e tratteggiata al centro).
Il sistema deve darmi le soluzioni comuni
quindi dove sono comuni le linee continue.
Scegliamo x maggiore di 3,
che sarà la nostra soluzione.
Il secondo sistema ha per soluzioni
x minore di 2 per la disequazione di primo grado,
mentre x compresa tra i valori 1/2 e 3 per la disequazione di secondo grado.
Scegliamo nuovamente le soluzioni dove sono presenti le linee comuni
cioè x compreso tra 1/2 e 2.
Unisco le soluzioni e ottengo il risultato dell'equazione fratta di partenza.
Risolviamo ora la disequazione 3/x + (2x-1)/(x-5) minore di 1.
Trasportando tutti i termini al primo membro e riducendo a forma normale, otteniamo l'espressione cerchiata.
Procediamo risolvendo in un unico grafico e quindi andando a studiare contemporaneamente il segno + e il segno - dei polinomi,
gli zeri dei polinomi e i relativi segni.
Consideriamo "x al quadrato + 7x -15"
è un polinomio di secondo grado il cui delta è positivo.
Sappiamo che la disequazione ammette radici e che i suoi valori sono esterni
andando a studiare il campo dove essa è positiva.
Il denominatore è dato sempre da un polinomio di secondo grado nella forma x(x-5),
anch'esso positivo e con soluzione delle radici x=0 e x=5.
Quindi ha un delta positivo perché presenta entrambi le radici
e sarà verificato per i valori esterni in quanto positivo.
Riportando il tutto sul grafico
è verificata la prima disequzione per i valori esterni
(all'interno metto sempre la linea tratteggiata);
la seconda disequazione sempre ancora per i valori esterni alle due radici
(traccio la linea tratteggiata sempre dove non è verificata).
Associando il segno + e il segno - come precedentemente visto, le soluzioni ottenute sono quelle cerchiate in figura
prese con il segno - perché la disequazione fratta di partenza
chiedeva dove fosse verificata la disequazione minore di zero.