Introduciamo i sistemi di disequazioni.
Date più disequazioni nella variabile x:
A(x) maggiore di 0, B(x) minore di 0, C(x) maggiore di 0
(i segni dati sono un esempio, possono infatti essere di qualsiasi tipo, sia maggiori che minori, non c'è una regola)
diciamo che esse formano un sistema di disequazioni
se esistono valori della x (della variabile)
che soddisfano contemporaneamente
le disequazioni date.
Se ciò accade, il sistema si dice "possibile",
se invece non trovo alcuna x che mi soddisfi contemporaneamente tutte le disequazioni presenti
il sistema si dirà impossibile.
Per la risoluzione del sistema,
si risolvono tutte le disequazioni e poi si cercano le soluzioni comuni.
La risoluzione è agevolata se si rappresentano gli zeri
(quindi le radici dei vari polinomi su una retta) e si segnano gli intervalli
per cui sono soddisfatte le varie disequazioni.
Gli intervalli in cui sono verificate tutte le disequazioni, sono le soluzioni del sistema.
Noteremo che graficamente la risoluzione sarà più semplice di quanto sembri a parole.
Vediamo un esempio pratico: considero il sistema di disequazioni nell'immagine
e risolvo individualmente le singole disequazioni.
La prima disequazione di primo grado
si risolve eliminando il denominatore ed effettuando le dovute semplificazioni.
Ridotta in forma normale ottengo 2x-3 minore di 0.
Quella svolta è una disequazione del primo ordine di facile risoluzione,
che ammetterà la radice x minore di -b/2, quindi x minore di 3/2 nel nostro caso.
La seconda disequazione è una disequazione di secondo grado
il cui segno è minore di 0.
E' già ridotta in forma normale, quindi studiamo il delta per trovare le radici del polinomio:
in questo caso il delta è pari ad 1, dunque maggiore di 0.
Con delta maggiore di zero, il segno del primo coefficiente è positivo,
ma il verso della disequazione è negativo.
Troviamo prima le radici del polinomio: x1=1 e x2=5/4
e, poiché il segno del polinomio deve essere discorde da quello del primo coefficiente,
so che tutte le soluzioni di x saranno quelle interne all'intervallo [1;5/4].
Riportiamo graficamente queste radici su una linea retta:
riportiamo la radice 1 e la radice 5/4 (soluzioni della disequazione di secondo grado)
e il valore 3/2 (radice del polinomio di primo grado).
Analizziamo le condizioni riscontrate sulle varie radici:
sappiamo che x deve essere minore di 3/2
quindi traccio una linea continua dove è soddisfatta ed una tratteggiata dove non lo è;
la disequazione di secondo grado è soddisfatta per i valori interni all'intervallo [1;5/4],
quindi traccio una linea continua tra 1 e 5/4 e tratteggiata altrove.
Come soluzioni del sistema si scelgono le x comuni,
cioè quelle dove sono comuni le linee continue e non tratteggiate.
La soluzione si troverà nello spazio evidenziato tra 1 e 5/4.
Le x appartenenti all'intervallo [1,5/4] soddisfano il sistema di disequazioni di partenza.