In questa lezione parleremo delle equazioni e delle disequazioni particolari,
dove per particolari intendiamo le equazioni o disequazioni fratte e irrazionali,
e accenneremo brevemente i sistemi di equazioni e disequazioni.
L'obiettivo della lezione è lo studio e la risoluzione delle equazioni e delle disequazioni particolari,
quali quelle fratte e quelle irrazionali.
Inoltre, si richiameranno i sistemi di equazioni e disequazioni.
Tutto ciò sempre come strumento utile per lo studio delle funzioni.
Andremo a vedere quali sono le equazioni irrazionali,
studieremo i sistemi di equazioni,
i sistemi di disequazioni, le disequazioni fratte
e le disequazioni irrazionali.
Un'equazione si dice irrazionale
se l'incognita compare sotto il segno di radice.
Sono equazioni irrazionali le equazioni: x + √(3x + 1) = 9
e √(ax + b) - b = √x.
Per la soluzione di questo tipo di equazioni è necessario considerare il seguente teorema:
"elevando ambo i membri di un'equazione alla stessa potenza,
si ottiene un'equazione equivalente alla data
che ha le stesse radici dell'equazione di partenza
e alcune dette estranee perché non soddisfano l'equazione.
Ricordiamo che un'equazione equivalente non è la stessa equazione di quella di partenza,
ma ammette lo stesso gruppo di soluzioni.
Per risolvere un'equazione irrazionale è dunque necessario elevare ad opportuna potenza,
una o più volte, i due membri fino ad arrivare ad un'equazione nota
(o comunque nota nella risoluzione).
Trovare le soluzioni dell'equazione equivalente ottenuta,
sarà necessario verificare quali soddisfano l'equazione di partenza
perché abbiamo detto che nell'equazione equivalente ottenuta
ci sono delle radici, chiamate estranee, che non soddisfano l'equazione di partenza.
Il caso più semplice di equazione irrazionale
è quello riconducibile alla forma radice n-esima di √A(x) = B(x),
dove A(x) e B(x) sono dei polinomi nell'incognita x.
Vediamo un esempio:
consideriamo l'equazione x + √(3x + 1) = 9.
Isoliamo il radicale al primo membro come evidenziato in figura.
Il radicale sappiamo essere necessariamente un numero positivo e dal momento che è presente l'uguaglianza
la quantità al secondo membro deve essere necessariamente imposta ≥ di 0.
La condizione posta sulla x è quindi che essa sia ≤ di 9.
Possiamo successivamente eliminare il radicale, elevando a potenza pari a 2 entrambi i membri dell'equazione,
elevo al quadrato e ottengo al primo membro 3x + 1
e 81 - 18x + x al quadrato al secondo membro.
Raccogliendo i termini simili e facendo le dovute semplificazioni,
ottengo un'equazione di secondo grado ridotta in forma normale
pari a x al quadrato - 21 x + 80 = 0.
In questo caso vado a trovare le radici dell'equazione equivalente.
Calcoliamo le radici e otteniamo che sono x1=5 e x2=16.
Dalla condizione che avevo trovato sulla x, cioè che x deve essere minore o uguale di 9,
ne consegue che l'equazione ammette solo la radice x1 = 5
perché dovendo essere minore di 9, x2 = 16 non può essere preso in considerazione.
Andando a sostituire x1 = 5, si verifica che
questa radice soddisfa l'equazione,
mentre per verificare che x2 = 16 non soddisfa l'equazione
basta andare a sostituire il valore nell'equazione, notando che l'identità non verrà soddisfatta.
Forniremo ora delle brevi definizioni dei sistemi di equazioni.
Def.1: Dicesi sistema di equazioni un insieme di m equazioni in n incognite
che devono essere contemporaneamente soddisfatti.
Def. 2: Un sistema si dice di primo grado se le equazioni presenti sono tutte di primo grado.
Def.3: In generale il grado di un sistema è superiore al primo
se sono presenti equazioni di grado superiore.
Si ricorda che il grado di un sistema si ottiene
calcolando il prodotto dei gradi delle equazioni presenti nel sistema.
Analogamente a quanto accade per le equazioni
anche i sistemi possono essere impossibili, indeterminati o determinati.
Un sistema di equazioni si dirà impossibile
se non esistono soluzioni che soddisfano contemporaneamente tutte quante le equazioni presenti nel sistema.
Si dirà indeterminato se esistono infinite soluzioni che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.
Questo vuol dire che qualunque x io scelga
tutte le equazioni presenti nel sistema sono soddisfatte.
Infine determinato se le soluzioni che soddisfano contemporaneamente
le equazioni presenti nel sistema sono in numero limitato, quindi un insieme limitato.
Per risolvere un sistema di equazioni
spesso può essere utile trasformarlo in un sistema equivalente
con delle opportune riduzioni o semplificazioni,
cioè in un sistema che ammette le stesse soluzioni
che soddisfano contemporaneamente anche il sistema di partenza.
Quindi un sistema equivalente è un sistema che differisce dal sistema di partenza
ma ammette lo stesso gruppo di soluzioni.
Consideriamo ora il sistema di primo grado
dato da A(x)=0; B(x)=0; C(x)=0,
dove A(x), B(x), C(x) sono polinomi di primo grado.
Possiamo risolvere questo sistema con diversi metodi.
Il primo metodo si chiama "Principio di sostituzione"
ovvero si risolve una delle equazioni rispetto ad un'incognita
e si sostituisce l'incognita individuata nelle due rimanenti equazioni
(in questo caso due ma possono essere molte di più le equazioni)
dove compare l'incognita che abbiamo individuato
dato che non è detto che la stessa incognita compaia in tutte le equazioni.
Vediamo un esempio per il principio di sostituzione
considerando il sistema in figura.
Isoliamo y nella seconda equazione (conviene dato che non ha coefficiente ed è di facile esplicitazione):
la y sarà uguale a 3x-7.
Sostituiamo il valore della y nella prima equazione
ed effettuiamo le dovute semplificazioni;
otteniamo un sistema equivalente dato da 11x-33=0 e 3x-7=y.
Per ottenere la soluzione calcolo dalla prima equazione la x (unica incognita
e semplice equazione di primo grado)
che sarà x=3;
Sostituiamo ora il valore della x individuato nella seconda equazione
ottenendo y=2.
Questi due valori x=3 e y=2
sostituiti nel sistema di partenza
verificheranno contemporaneamente le due equazioni presentate.
Dunque sono effettivamente soluzioni del sistema equivalente di partenza.
Consideriamo un secondo metodo, detto metodo di addizione.
Nel metodo di addizione (e di sottrazione)si cerca di rendere uguale
e di segno contrario nelle equazioni il termine che contiene la y.
Successivamente faremo la stessa operazione anche per la x (x e y sono interscambiabili
dato che verrà fatta una scelta tra le due in base alla comodità dei calcoli e a come risulta più conveniente operare per ottenere la soluzione).
Per farlo si moltiplicano le equazioni (è possibile farlo
per il secondo principio di equivalenza delle equazioni) per + o - il coefficiente della y (o della x).
Vediamo un esempio pratico che ci permetterà di comprendere più facilmente il metodo utilizzato.
Consideriamo il sistema 2x+3y=12 e 3x-y=7.
Posso moltiplicare la seconda equazione per 3;
in questo caso i segni della y sono già opposti gli uni con gli altri,
ma manca il 3 nella seconda equazione, ecco perché moltiplichiamo la seconda equazione per 3.
Ottengo un sistema equivalente: 2x+3y=12 e 9x-3y=21.
I coefficienti della y sono uguali ma opposti in segno;
sommo membro a membro
e sostituisco il risultato ottenuto nell'equazione rimanete
(quella che non avevo moltiplicato per il termine 3).
Sommando membro a membro diventa 11x=33
(+3 y e -3y si eliminano)
e vado a sostituire il risultato ottenuto x=3 nella prima equazione.
Dalla prima equazione posso esplicitare la y
ottenendo x=3 e y=2,
ovvero le stesse soluzioni ottenute utilizzando il metodo per sostituzione.
Un ultimo metodo è il metodo del confronto.
Nel metodo del confronto si ricava da entrambe le equazioni un'incognita
(sempre per un discorso di comodità nella risoluzione del calcoli, scegliamo quella più facile da estrarre),
e poi si mettono a confronto le due espressioni ottenute per la stessa incognita
(due o più equazioni; un sistema può essere composto anche da più di due equazioni).
Vediamo un esempio pratico
considerando sempre lo stesso esempio utilizzato per i due metodi precedenti.
Calcolo da entrambe la y:
dalla prima ottengo y= -2/3x+4;
dalla seconda y=3x-7.
Confrontiamo quindi le due espressioni ottenute:
la prima equazione diventa semplicemente il confronto delle due espressioni ottenute;
la seconda resta uguale a quella data in partenza e da me scelta perché ritenuta più semplice y=3x-7.
Risolviamo la prima equazione, un'equazione di primo grado di semplice risoluzione, in x dove non compare più il termine in y,
otteniamo 11x=33 e quindi ancora una volta x=3.
Sostituisco x=3 ottenuto nella seconda
e come risultato avrò nuovamente x=3 e y=2.
Quindi possono essere applicati tutti e tre i metodi indistintamente
operando una scelta tra loro in base alla facilità di risoluzione dei calcoli
che possano darci un risultato nel minor tempo possibile.
Se in un sistema un'equazione è di secondo grado mentre le altre sono di primo,
il sistema è di II grado (dove il grado è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni presenti nel sistema).
Anche per i sistemi di secondo grado e per quelli di grado superiore al secondo
valgono tutte le proprietà che abbiamo enunciato per i sistemi di primo grado.
Per un sistema di secondo grado in due incognite, generalmente si usa il metodo di sostituzione,
esplicitando una delle due incognite dall'equazione di primo grado
e si sostituisce nelle altre.
La risoluzione dei sistemi di secondo grado
con più di due incognite, si esegue con un procedimento analogo a quello dei sistemi di secondo grado con due incognite.
Si esplicitano tutte le incognite che servono per sostituirle nelle equazioni rimanenti.
In realtà si suppone una delle incognite note
e si va a sostituire nelle rimanenti equazioni.
Risolviamo il sistema: x+y+z=6; 3x+y-z=4
e l'espressione di secondo grado (in figura).
Calcoliamo la y e la z supposta nota la x
(supponiamo una x nota come se fosse un numero):
y+z=6-x; y-4=4-3x;
mentre l'equazione di secondo grado resta uguale.
Quello che conviene fare è calcolare la y e la z dal sistema y+z=6-x e y-4=4-3x
ottenendo y=5-2x e z=1+x.
Dato che avevamo dato "noto" il termine x,
i risultati ottenuti possono essere considerati come soluzioni del sistema di primo grado considerato.
Sostituisco i valori della y e della z nell'equazione di secondo grado data
ottenendo un'equazione di secondo grado nella variabile x.
A questo punto posso andare a risolvere l'equazione di secondo grado per trovare l'effettivo valore della x
ottenendo due radici x1=2 e x2=25/8.
Non resta che risolvere i due sistemi di primo grado dati dalle prime due equazioni date (che restano invariate)
e una volta x1=2 e l'altra x2=25/8.