Introduciamo ora le disequazioni di primo grado.
Una disequazione è di primo grado se,
una volta ridotta in forma normale e fatte le dovute semplificazioni,
risulta del tipo: a (x) minore o maggiore di 0
con a(x) polinomio di primo grado del tipo ax più b.
Possiamo supporre a maggiore di 0 in quanto,
se a non fosse maggiore di 0,
posso cambiare il segno a tutti i termini invertendo il segno della disequazione rendendolo positivo.
Ne consegue che se il polinomio è maggiore di 0, ax più b è maggiore di 0
e per il primo principio di equivalenza, posso portare b al secondo membro della disequazione,
cambiandolo di segno e diventerà ax maggiore di meno b.
Per il secondo principio, supposto che a è maggiore di 0,
è possibile dividere per a e ottenere che x è maggiore di -b/a.
ottenendo una radice della disequazione.
In modo del tutto analogo si procede quando a(x) è minore di 0,
in questo caso posso portare sempre b al secondo membro
cambiandolo di segno e diventa ax minore di meno b,
siccome a è maggiore di 0, posso dividere il tutto per a
e la soluzione diventa x minore di -b/a.
Facciamo un breve esempio:
3x meno 1 fratto 5 più x meno 2 fratto 2 maggiore di 4x meno 1 fratto 10.
Per prima cosa rendiamo questa disequazione in forma normale,
eliminiamo i denominatori facendo il minimo comune multiplo
e si ottiene questa espressione.
Per il secondo principio, posso moltiplicare per 10 (per eliminare il denominatore)
e, fatte le dovute semplificazioni, arrivo ad un espressione di questo tipo (in evidenza).
Per il primo principio possiamo trasportare tutti i termini al primo membro cambiandoli di segno
ottenendo questa seconda espressione,
sommiamo i termini simili e otteniamo 7x meno 11 maggiore di 0
ovvero la forma normale della disequazione da cui
7x è maggiore di 11 e,
poiché 7 è un numero positivo diverso da 0,
possiamo dividere per 7 ottenere x maggiore di 11/7
ovvero la soluzione della disequazione di primo grado.
Facciamo un secondo esempio:
3 meno radical 2 per x più radice di 6 meno 2 maggiore di radical 3 per x.
Per il primo principio è possibile trasportare tutti i termini al primo membro cambiandoli di segno
(come risulta in evidenza),
sommiamo i termini simili e poi li raccogliamo tra loro
ottenendo un'espressione di questo tipo:
3 meno radical 2 meno radical 3 minore di 0
e per ridurre in forma normale la disequazione è necessario
cambiare i segni di tutti i termini e invertire il segno della disequazione.
La disequazione diventerà di questo tipo da cui si ottiene,
ricordando che x è minore di meno b/a,
un'espressione di questo tipo.
Generalmente, come finezza matematica,
non si lasciano dei radicali al denominatore ma si razionalizza
il che significa moltiplicare per l'opposto del polinomio presente al denominatore,
in questo caso moltiplicheremo per radical 2 più radical 3 più 3.
Si ricorda la regola dei prodotti notevoli, dove a quadro meno b quadro è uguale ad a meno b per a più b, e si ottiene che
razionalizzando ovvero moltiplicando e dividendo per lo stesso valore (che in questo caso è questa espressione),
con tutte le dovute semplificazioni e i dovuti calcoli,
una radice che ha un'espressione di questo tipo evitando di lasciare i radicali al denominatore.