Possiamo ora introdurre le disequazioni.
Si dice disequazione di una variabile x ogni condizione del tipo
a (x) maggiore di b(x) oppure a (x) minore di b(x)
con a di (x) e b di (x) polinomi nella variabile x.
Risolvere la disuguaglianza equivale a trovare i valori della x
per i quali resta verificata questa disuguaglianza.
Analogamente a quanto accade per le equazioni,
possiamo dare le seguenti definizioni:
due disequazioni sono equivalenti
se tutte le soluzioni dell'una soddisfano anche l'altra e ovviamente viceversa.
Bisogna specificare che, anche in questo caso,
le due disequazioni non sono la stessa disequazione
ma ammettono le stesse soluzioni.
Anche per le disequazioni, cosi come per le equazioni,
valgono i principi di equivalenza, il primo e il secondo.
In particolare il primo dice che:
aggiungendo ad ambo i membri della disequazione una stessa quantità,
so ottiene una disequazione equivalente.
Questo significa che
è possibile trasportare un termine da un membro all'altro della disequazione
purché si cambi il segno al termine stesso.
E', quindi, sempre possibile ridurre la disequazione a una forma del tipo
a (x) minore o maggiore di 0, ovvero ad un unico polinomio.
Il secondo principio di equivalenza
riguarda la moltiplicazione e la divisione per un numero:
se moltiplico o divido ambo i membri di una disequazione per un numero positivo
si ha una disequazione equivalente a quella data;
moltiplicando e dividendo, invece, per un numero negativo
si ottiene una disequazione di segno opposto
e per averne una equivalente si deve cambiare il segno della disequazione ottenuta.
A differenza di quanto accade per le equazioni
il secondo principio è leggermente modificato
perché si distingue la moltiplicazione per numero negativo o un numero positivo.
e in questo caso cambia il verso della disequazione.
E' necessario fare questo tipo di discussione e di osservazione
nel momento in cui parliamo una disequazione.