Dicesi equazione trinomia ogni equazione del tipo:
a che moltiplica x elevato alla 2n più bx alla n più c uguale a 0.
Ad esempio è un'equazione trinomia:
5x alla sesta meno 7x alla terza più 2 uguale a 0.
L'esponente della prima x deve essere multiplo pari dell'esponente della seconda x presente.
La risoluzione si riduce alla risoluzione di un'equazione di secondo grado
ponendo y uguale ad x elevato alla n,
si ottiene y quadro uguale x elevato alla 2n (questo per le proprietà delle potenze).
Quindi l'equazione diventa ay quadro più by più c uguale 0.
Sappiamo che questa equazione,
facendo la discussione sulla discriminante dell'equazione di secondo grado,
ammette delle radici che chiameremo in questo caso y con uno e y con due.
Per la posizione fatta avremo
x alla n uguale y con uno e x alla n uguale a y con due
che sono due equazioni binomie
e che ammettono sempre radice reale se n dispari,
mentre nel caso di n pari ammettono radici reali
solo se almeno uno tra y con uno e y con due sono positivi.
Questo perché quando l'esponente della radici è pari
esistono le radici solo dei numeri positivi.
Risolviamo l'equazione: x alla sesta meno 7x alla terza meno 8 uguale a 0,
notiamo che si tratta di un' equazione trinomia
infatti sei è uguale a due per tre (un multiplo pari della seconda x presente).
Poniamo x al cubo uguale y e l'equazione diventa:
y quadro meno 7y meno 8 uguale a 0,
il discriminante è uguale a 81 e quindi è positivo,
per cui esistono due radici reali che sono meno 1 e 8.
Dalla posizione che avevamo fatto otteniamo:
x al cubo uguale a meno 1 e x al cubo uguale a 8.
Poiché l'esponente è dispari
non abbiamo problemi a trovare le radici di questa equazione
in quanto ammettono sempre soluzioni in particolare,
le soluzioni delle equazioni trinomie sono:
x con uno uguale a meno 1 (perché tale risulta essere radice cubica di meno 1),
e x con due uguale a 2 (perché 2 al cubo da come risultato 8).
Può capitare che una delle due equazioni binomie o entrambe possa essere impossibile,
in questo caso l'equazione trinomia di partenza
non ammette soluzioni.