Dicesi equazione binomia un'equazione del tipo:
ax alla m più bx alla n uguale a 0
con m maggiore di n, a maggiore di 0, b diverso da 0.
Per risolvere l'equazione mettiamo in evidenza
ovvero dividiamo per l'elemento x alla n,
in questo caso diventa x alla n che moltiplica
a per x elevato ad m meno n, più b uguale a 0.
Per la legge di annullamento del prodotto
sappiamo che x alla n è uguale a zero e questo polinomio uguale a 0.
La prima equazione ha n radici uguali a 0.
La seconda, se poniamo p uguale m meno n,
otteniamo a che moltiplica x alla p più b uguale a 0
che ammette come soluzione x uguale alla radice p-esima di meno b fratto a.
Bisogna fare una discussione su p: se p è dispari, sappiamo che la radice ha sempre soluzioni per cui esiste una a qualunque sia il numero reale, positivo o negativo,
di conseguenza sappiamo che esiste la x che
in questo caso è uguale alla radice p-esima di meno b fratto a. Se p è pari e b maggiore di 0, non vi sono soluzioni reali
perché sappiamo che nel caso di esponente pari
non esistono radici di numeri negativi.
Se b è minore di 0, ha sempre soluzioni reali
in quanto il radicando è positivo e le radici saranno più o meno la radice p-esima di meno b fratto a.
Ad esempio risolviamo l'equazione binomia: 7x alla sesta meno 21x al quadrato uguale a 0. Mettiamo in evidenza 7x quadro
(è preferibile anche il 7 perché 21 è multiplo di 7) e diventerà 7x al quadrato che moltiplica x alla quarta meno 3 uguale a 0.
Per la legge di annullamento del prodotto possiamo ancora dire
7x al quadro uguale a 0 e x alla quarta meno 3 uguale a 0
La prima equazione ha due radici nulle.
Inoltre, poiché il grado della seconda è pari e b è negativo (-3),
la seconda equazione ammette due radici reali e opposte che sono date da x uguale più o meno la radice quarta di 3.