Si dice reciproca un'equazione che ha
il primo e l'ultimo termine e i termini equidistanti da questi
uguali o uguali ed opposti nel segno.
Nel caso in cui i termini sono uguali in segno
la reciproca si dice di prima specie.
Invece nel caso in cui i segni sono uguali ma opposti
l'equazione reciproca si dice di seconda specie
ed ecco un esempio riportato.
Vale il seguente Teorema:
qualunque sia il grado e la specie dell'equazione reciproca,
se k è una radice dell'equazione,
anche 1/k è una radice dell'equazione.
Questo ci porta ad osservare che le radici delle equazioni sono
coppie di radici che sono l'una reciproca dell'altra
da cui deriva il nome equazioni reciproche.
Osserviamo i metodi risolutivi per un'equazione reciproca.
I metodi risolutivi variano a seconda della specie e del grado dell'equazione in questione.
Consideriamo il caso in cui l'equazione è di terzo grado ed è di prima specie
per cui i coefficienti sono uguali anche in segno:
l'equazione ammette radice x uguale a meno 1 (reciproca di se stessa)
e le radici delle equazioni di secondo grado
ax al quadrato più b meno a che moltiplica il coefficiente x più a uguale a 0.
Diamone una breve dimostrazione.
Si arriva a questo risultato osservando che,
se consideriamo l'equazione di partenza,
notiamo che si annulla per x uguale a meno 1.
Mediante la regola di Ruffini
posso dividere l'equazione di partenza per x più 1,
si divide per il x sommato all'opposto di quella che riteniamo essere l'ipotetica radice.
Diamo un breve accenno a quello che ci dice e ci permette di fare la regola di Ruffini.
La regola di Ruffini consente di dividere
un polinomio p di x, di grado qualsiasi n,
per un polinomio del tipo x meno r
e ottenere così un polinomio di grado minore, in particolare di grado n meno 1
facendo questa divisione e scendendo di grado
Per applicare la regola di Ruffini è necessario procedere in vari step:
innanzitutto si considerano i coefficienti del polinomio di partenza p di x
e si scrivono nel seguente ordine su questa riga
cercando di isolare in questo modo il termine noto,
in basso a sinistra si pone la radice che intendiamo
provare essere una radice dell'equazione.
Il secondo step ci porta ad abbassare o a copiare, detto in maniera più formale,
il primo coefficiente sotto questa seconda riga.
Mentre il terzo step ci riporta sotto il secondo coefficiente
il prodotto del primo coefficiente che avevamo copiato qui
per quello che è il numero r ovvero l'ipotetica radice.
In questo caso ottengo poi dal prodotto bn meno 1
(in realtà qui c'è un errore perché bn meno 1 è uguale al prodotto di an per r)
e da an meno 1 sommo quello che è il coefficiente posto qui.
Iterando questi step più volte si ottiene
un'espressione di una serie di coefficienti,
i valori b con n meno 1, b con n meno 2, b con 0,
che saranno i coefficienti del polinomio risultante Q di x
il cui grado sarà inferiore a quello di P di x,
R invece è il resto della divisione che se nullo,
il polinomio può essere propriamente divisibile.
Ritornando all'equazione reciproca di partenza,
(ax al cubo più bx quadro più bx più a uguale a 0)
dividiamo il polinomio per x più 1.
Qui mettiamo quella che noi pensiamo sia la radice,
e procedendo come indicato nel rispetto della regola di Ruffini,
si ottengono questi coefficienti
con il resto nullo.
Possiamo dire che otteniamo un polinomio del tipo:
ax quadro più b meno a per x più a uguale a 0 cioè il polinomio che ci aspettavamo.
L'equazione di partenza diventa
il prodotto di x più 1 per questo polinomio di secondo grado.
Per la legge di annullamento del prodotto
dovrà risultare x più 1 uguale a 0
e il polinomio di secondo grado uguale a 0.
L'equazione avrà radice x uguale a meno 1
(come ci aspettavamo, reciproca di se stessa)
e le radici dell'equazione di secondo grado.
Ricordando le proprietà delle equazioni,
e soprattutto dei legami che esistono tra i coefficienti delle equazioni e le radici dell'equazione stessa,
vediamo che il prodotto delle due radici
è uguale al termine noto fratto il primo coefficiente
(in questo caso il primo coefficiente è uguale ad a)
quindi esse risultano essere reciproche l'una dell'altra.
Osserviamo un altro metodo di risoluzione
ovvero le equazioni di terzo grado e di seconda specie.
L'equazione ammette radice x uguale a 1 ( reciproca di se stessa)
e le radici delle equazioni di secondo grado che sono date
dalla risoluzione di questa equazione di secondo grado.
Il risultato lo si ottiene nel modo analogo applicando la regola di Ruffini
ma dividendo, in questo caso, per x uguale a meno 1.
Ancora una volta le radici dell'equazione di secondo grado
sono reciproche perché il loro prodotto è 1
(a fratto a è uguale a 1 e quando il prodotto è uguale a 1 significa che i due elementi sono l'uno reciproco dell'altro).
Vediamo il caso di un'equazione di quarto grado e di prima specie.
Abbiamo un'equazione di questo tipo uguale a 0.
Poiché x uguale a 0 non annulla il polinomio, basta sostituire,
è possibile dividere per x quadro
da cui otteniamo questo tipo di espressione,
se raccogliamo a fattor comune otteniamo ancora questa seconda espressione
(che ho denotato con il numero 1 perché la richiameremo nella slide successiva).
Poniamo y uguale a x più 1/x
e y quadro sarà uguale a x più 1/x al quadrato.
Sviluppando questo quadrato otteniamo
x quadro più 1/x quadro più 2 uguale a y quadro.
Da qui estraiamo x quadro più y al quadrato
che andremo a sostituire nell'equazione precedente che abbiamo indicato con 1.
Si ottiene l'equazione trasformata di secondo grado:
a che moltiplica y quadro meno 2 più by più c uguale a 0,
le cui radici saranno y con uno e y con due.
Per la posizione fatta (ovvero quella indicata)
si ottengono le equazioni a coefficienti reciproci riportate in figura,
le quali forniscono le quattro radici dell'equazione di partenza.
Facciamo un breve esempio della risoluzione di questo caso.
e consideriamo questa equazione (reciproca di quarto grado e di prima specie)
e dividiamo il tutto per x quadro.
Raccogliamo nuovamente insieme i termini simili
e otteniamo un'espressione di questo tipo.
A questo punto possiamo fare la nostra posizione
e ottenere l'equazione di secondo grado riportata mediante dei calcoli in forma normale.
Considerare le radici di questa equazione di secondo grado.
Poiché il termine b è pari e quindi divisibile per 2
possiamo applicare la formula ridotta con il delta quarti,
e ottengo due radici: 5/2 e meno 17/4
Utilizzando la posizione di partenza posso scrivere
x più 1/x uguale a 5/2 e x più 1/x uguale a meno 17/4.
Quindi sono due equazioni di secondo grado
dalle quali otterrò quattro radici,
ovvero le quattro radici a due a due reciproche dell'equazione di partenza.
Infine consideriamo un'equazione di quarto grado e di seconda specie come quella in figura.
In questa equazione manca il termine medio x al quadrato
e questo è evidente perché il suo coefficiente dovrebbe essere un numero uguale al suo opposto
e ciò è vero solo se il numero è nullo.
Utilizzando la regola di Ruffini si prova che
l'equazione è divisibile sia per x più 1 che per x meno 1.
L'equazione di partenza diventa un'espressione del tipo:
x più 1 per x meno 1 per quest'equazione di secondo grado uguale a 0,
che per la legge di annullamento del prodotto darà
x più 1 uguale a 0, x meno 1 uguale a 0
e infine le soluzioni dell'equazione di secondo grado qui riportata.
Da qui otteniamo
x uguale a meno 1, che è reciproca di se stessa,
da qui x uguale a 1, sempre reciproca di se stessa
e ancora una volta notando che il rapporto
tra c fratte il primo coefficiente 1 sappiamo che
anche le radici di questa equazione sono l'una reciproca dell'altra.
Infine un breve accenno alle equazioni di quinto grado di prima e di seconda specie.
Questo tipo di equazioni ha radici x uguale a più o meno 1
per cui possiamo abbassare il grado del polinomio di partenza utilizzando la regola di Ruffini,
e giungiamo cosi a un'equazione reciproca di terzo grado
che siamo in grado di risolvere con i metodi precedenti.
Riepilogando le equazioni di terzo grado e di prima specie
ammettono come radice x uguale a meno 1
e le radici dell'equazione di questo tipo (in evidenza).
Le equazioni reciproche di terzo grado e di seconda specie ammettono
radice x uguale a 1
e le radici dell'equazione di secondo grado qui riportata.
Le equazioni di quarto grado e di prima specie ammettono
soluzioni di questa equazione di secondo grado con la seguente posizione
Infine le equazioni di quarto grado e di seconda specie ammettono
radici x uguale a più o meno 1 e le radici dell'equazione di secondo grado.
Un breve accenno alle equazioni di quinto grado di prima e seconda specie che ammettono
radici x uguale a più o meno 1
e le radici di un'equazione reciproca di terzo grado (risolvibile attraverso i metodi precedenti).