Oggi introdurremo delle equazioni particolari tipo
equazioni reciproche, biquadratiche e binomie.
L'introduzione di queste equazioni serve soprattutto
come strumento per lo studio delle funzioni,
è un richiamo a quanto dovrebbe essere già noto dalle scuole superiori.
Come appena accennato, andremo a studiare
le equazioni biquadratiche, le equazioni reciproche, le equazioni binomie e infine le trinomie.
Un'equazione di quarto grado
in cui mancano i termini di grado dispari cioè un'equazione del tipo:
ax al quadrato più bx quadro più c uguale a 0
si chiama equazione biquadratica.
La risoluzione si riduce facilmente alla risoluzione di un'equazione di secondo grado
con la posizione y uguale x quadro
per cui diventa una semplice equazione: ay quadro più by più c uguale a 0.
Questa equazione ammetterà due radici a seconda del determinante che dovremmo studiare,
e se x è uguale a più o meno la radice di y
con y data dalla formula nota (meno b più o meno la radice quadrata del discriminante fratto due volte a)
avremo che x sarà più o meno la radice di questa quantità.
Si avranno quattro radici dell'equazione
per comprendere come sono le radici di queste equazioni
è necessario studiare anche in questo caso il delta.
Consideriamo il caso in cui il delta è maggiore di 0:
può accadere che l'equazione ha quattro radici a due a due opposte,
in particolare le radici sono reali.
Questo accade se l'equazione biquadratica presenta due variazioni nel segno
ovvero si susseguono un meno e un più o un più e un meno.
Questo ci viene detto dalla regola di Cartesio perché
in questo caso l'equazione di secondo grado associata,
con due variazioni, darà due radici positive.
In questo caso posso fare la radice di un numero positivo e ottenere altri due numeri.
Essa può avere anche due radici reali e due immaginare e questo accade quando
la sequenza di segni dei coefficienti presenta una variazione e una permanenza.
Infine ha quattro radici immaginarie a due a due opposte
se i segni dei coefficienti presentano due permanenze
Tutte queste nozioni ci derivano dalla regola di Cartesio
applicata ai segni dell'equazione di secondo grado associata.
Nel caso in cui invece il delta è uguale a 0
l'equazione associata ha due radici reali e coincidenti
e la biquadratica avrà quattro radici a due a due coincidenti e opposte,
reali o immaginaria a seconda che la radice coincidente dell'associata ha segno positivo o negativo.
Infine se il delta è uguale a 0
l'equazione associata ha due radici complesse coniugate,
e la biquadratica avrà radici complesse coniugate.
Facciamo un piccolo esempio e consideriamo l'equazione:
4x quadro meno 25 x al quadrato più 36 uguale a 0.
Vado a studiare innanzitutto il delta che in questo caso è positivo perché corrisponde a 49,
i segni dei coefficienti presentano due variazioni
e per la regola di Cartesio le quattro radici saranno reali e a due a due opposte.
Poniamo y = x al quadrato
l'equazione di quarto grado diventa un'equazione di secondo grado :
4y quadro meno 25y più 36 uguale a 0
e le due radici saranno 9/4 e 4, quindi due radici reali.
Ne consegue che y sarà più o meno la radice quadrata di 9/4
e più o meno la radice quadrata di 4.
y sarà poi uguale a più o meno 3 mezzi e y uguale a più o meno 2.
In tutto quattro radici reali come ci aspettavamo.