Possiamo avere delle indicazioni sulle equazioni di secondo grado
osservando il legame che esiste tra le radici e i coefficienti dell'equazione.
Enunciamo il seguente teorema:
data un'equazione di secondo grado, con discriminante non negativo,
la somma delle due radici è uguale
al quoziente, cambiato di segno, del secondo coefficiente per il primo
(qui espresso graficamente) mentre il prodotto delle due radici corrisponde
al quoziente del termine noto per il primo coefficiente. Questa è una cosa importante che sarà utile nella risoluzione dei problemi.
Possiamo anche enunciare il teorema di Cartesio
utile per capire il segno delle radici che avremo.
In un'equazione di secondo grado con coefficiente non negativo si ha che
ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice negativa
e ad ogni variazione una radice positiva,
dove per permanenza di segno si intende due segni successivi uguali ( o due più o due meno),
mentre per variazione di segno due segni successivi differenti tra loro.
Osserviamo il teorema di Cartesio e la regola di Cartesio in una tabella.
Considerando i coefficienti a b c noto che:
se ho due permanenze le due radici saranno entrambe negative.
Se ho due variazioni avrò due radici positive.
Se ho una variazione e una permanenza (tra queste due) avrò una negativa e l'altra positiva.
Analogamente se ho prima una permanenza e poi una variazione,
avrò prima una radice negativa e poi una positiva.
Questo legame tra le radici ei coefficienti
può essere estremamente utile nella risoluzione dei vari problemi.
Facciamo un breve esempio di come si legge la tabella di Cartesio.
Consideriamo l'equazione 6x al quadrato più 5x più 1 uguale a 0,
in questo caso il delta è positivo.
L'equazione presenta 2 permanenze
ovvero due segni uguali
quindi sappiamo, per la tabella che abbiamo precedentemente visto,
che le due radici dovranno essere entrambe negative.
Infatti risolvendo l'equazione
ottengo la radice x con 1 meno un terzo,
mentre l'altra radice è pari a meno un mezzo.
Esattamente quello che ci aspettavamo,
due radici negative.