Vediamo come si risolvono le equazioni di secondo grado complete.
Consideriamo l'equazione di secondo grado ax al quadrato più bx più c uguale a 0 completa
dove tutti e tre i coefficienti (a, b, c) sono distinti da 0,
chiameremo discriminante l'espressione b al quadrato meno 4ac
dove b è il secondo coefficiente, a è il primo coefficiente e c è il termin noto.
Quello che chiamiamo discriminante o delta può essere
minore, uguale o maggiore di 0,
questo comporta differenti tipi di radici per l'equazioni.
Nel caso in cui il discriminante è maggiore di 0
l'equazione ammette due radici reali e distinte.
Nel caso in cui il delta è uguale a 0
l'equazione ammette radici reali ma coincidenti.
Nel caso in cui il delta è minore di zero
l'equazione non ammette radici nel campo dei numeri reali,
mentre li ammetterà nel campo dei numeri complessi.
L'equazione ax al quadrato più bx più c uguale a 0 completa,
quindi sempre con i tre coefficienti distinti da 0,
ha radici reali e distinte se il delta risulta maggiore di 0,
ovvero se il discriminante è positivo,
e queste radici sono date
(con x con 1 e x con 2 si intende le due radici distinte)
dal rapporto meno b più o meno la radice quadrata del delta fratto due volte il primo coefficiente.
Avrà due radici reali e coincidenti se il discriminante è nullo,
e queste due radici coincideranno con il rapporto del secondo coefficiente
fratto due volte il primo coefficiente cambiato di segno.
Risulterà impossibile nel campo dei numeri reali se il delta è minore di zero
ma ha due radici complesse coniugate che sono date da meno b più o meno i
per la radice della dell'opposto del discriminante
fratto due volte a nel campo dei numeri complessi.
Facciamo un esempio risolvendo l'equazione:
5x quadro più 7x meno 12 uguale a 0,
in questo caso il discriminante sarà 289 applicando la formula, e sarà positivo.
L'equazione ammette due radici reali e distinte
che sono calcolate secondo la formula che abbiamo visto
e che sono date da x con 1 uguale a 1 e x con 2 uguale a meno 12/5.
Risolviamo l'equazione nel caso in cui il discriminante sia nullo e consideriamo:
9x al quadrato meno 30x più 25 uguale a 0.
Applicando la definizione del discriminante vediamo che questa volta è nullo,
sappiamo che le radici dell'equazione sono reali ma coincidenti
e coinicidono con meno b/2a
che nel nostro caso sarà 5/3.
Infine vediamo l'equazione: x al quadrato meno 6x più 13 uguale a 0.
In questo caso il discriminante sarà negativo perché sarà meno 16,
l'equazione è impossibile nel campo dei numeri reali
ma ammette due radici complesse coniugate nel campo dei numeri complessi.
Applicando la formula nota, precedentemente vista nel campo dei numeri complessi dove compare l'unità immaginaria,
otteniamo le due seguenti radici che, come risulta evidente,
sono l'una il complesso coniugato dell'altra.
La formula individuata per la risoluzione delle radici può essere ridotta
in due formule che chiameremo forma ridotta e forma ridottissima
a seconda del tipo di coefficiente b, ovvero il secondo coefficiente.
Nel caso in cui il coefficiente b è divisibile per 2
la formula diventa: meno b/2 più o meno la radice quadrata di b/2 al quadrato meno ac fratto a.
In sostanza divido b per 2 in entrambi i casi,
semplificando eliminiamo il 4 e il 2.
Nel caso in cui b è divisibile per 2 ma in particolare a è uguale a 1
la formula diventa ridottissima
ovvero scompare la a dal denominatore della frazione
e scompare anche dall'interno della radice.
In questo caso la formula si dice ridottissima.
Informalmente si dice faccio il delta quarti,
lo si trova nel linguaggio comune
dove per delta quarti intendiamo la quantità di b/2 al quadrato meno -ac.
Risolvendo l'equazione: 5x al quadrato meno 6x più 1 uguale a 0
vediamo che il coefficiente b (che è meno 6) è divisibile per 2,
per cui posso usare il delta quarti,
in questo caso me lo vado a calcolare e corrisponde a 4,
e posso applicare la formula ridotta, non la ridottissima perché la non a non è uguale a 1
e trovo le due radici reali distinte
perché non solo posso fare il delta quarti ma esso è anche maggiore di 0.
Consideriamo l'equazione:
x al quadrato meno 14x meno 51 uguale a 0,
in questo caso b è uguale a meno 14, ancora una volta divisibile per due,
ma in più a è uguale a 1.
Posso utilizzare la formula ridottissima,
calcolo il delta quarti, pari a 100 e dunque maggiore di 0,
la mia equazione ammette due radici reali e distinte,
applico la formula ridottissima dove non compare la a al denominatore e non compare la a all'interno del delta quarti. In questo modo ottengo le due radici reali e distinte: meno 3 e 17.