Vediamo brevemente la risoluzione delle equazioni incomplete.
Consideriamo prima il caso di un'equazione binomia pura:
ax al quadrato più c uguale a 0.
Utilizzando i principi di equivalenza, validi anche per le equazioni di secondo grado, si ha
ax al quadrato uguale a meno c (c salta l'uguale cambiando di segno)
In questo caso avrò che x al quadrato sarà uguale a meno c fratto a.
Se a e c sono discordi in segno,
cioè se uno è positivo e l'altro è negativo,
significa che meno c su a è maggiore di 0.
In questo caso l'equazione avrà due radici reali ed opposte
che sono date dalla radice quadrata di meno c su a
rispettivamente con il segno più e con il segno meno.
Se a e c sono concordi in segno meno c su a sarà negativo,
l'equazione risulterà impossibile nel campo dei numeri reali,
mentre ammetterà due radici complesse coniugate nel campo dei numeri complessi.
In questo caso le due radici avranno,
con il segno più e con il segno meno rispettivamente,
la i davanti alla radice di c su a.
Facciamo un esempio e risolviamo l'equazione 5x al quadrato meno 2 uguale a 0:
si ha che x al quadrato è uguale a due quinti,
due quinti è maggiore di 0 per cui l'equazione ammette due radici reali e opposte
che sono date dalla radice quadrata,
con il segno più e con il segno meno rispettivamente di due quinti.
Risolviamo il caso in cui l'equazione risulta impossibile:
3x al quadrato + più sei uguale a 0
si ha che x al quadrato è uguale a meno 6/3 ovvero meno 2,
meno due è ovviamente minore di 0,
l'equazione risulterà impossibile nei numeri reali,
mentre avrà come soluzione nei numeri complessi.
Consideriamo la risoluzione dell'equazione binaria spuria:
ax al quadrato più bx uguale a 0.
Utilizzato sempre i principi di equivalenza,
validi anche per le equazioni di secondo grado,
è possibile mettere in evidenza la x e ottenere
x che moltiplica ax più b uguale 0.
Per la legge di annullamento del prodotto,
la quale afferma che se il prodotto di due numeri è uguale a zero
o il primo o il secondo sono uguali a 0,
posso ottenere x uguale 0 e ax più b uguale a 0,
il che equivale a x uguale a meno b su a.
Si avranno sempre due radici
una nulla e l'altra uguale a meno b su a.
In questo caso l'equazione ammette sempre radici reali
e una di queste è sempre uguale a 0.
Facciamo un esempio considerando l'equazione:
5x al quadrato meno 7x uguale a 0,
mettiamo in evidenza la x e otteniamo che
x per 5x meno 7 uguale a 0.
Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo
x uguale a 0 e 5x meno 7 uguale a 0
da cui otteniamo x uguale a 7/5.
Le due radici saranno x con uno uguale a 0,
ovvero una radice sempre nulla,
e x con due uguale a 7/5.
Possiamo dare una risoluzione dell'equazione in forma letterale.
Se consideriamo l'equazione cosi scritta,
moltiplicando e portando tutti gli elementi con la x al primo membro,
otteniamo questo tipo di espressione,
riduciamo in termini simili
e arriviamo ad una forma del tipo x che moltiplica x.
In questo caso otteniamo che le soluzioni sono
ancora siamo in una forma spuria,
una nulla (x con uno uguale 0)
e l'altra x con due data da questa formula ( meno 3 che moltiplica a più b).
Diamo una risoluzione dell'equazione monomia: ax quadro uguale a 0,
moltiplichiamo per il secondo principio di equivalenza entarmbi i membri per un mezzo
e otteniamo che x al quadrato è uguale a 0,
ma x al quadrato uguale a 0 corrisponde ad x per x uguale a 0.
Per la legge di annullamento del prodotto si ha x uguale a 0 e x uguale a 0
ovvero le due radici sono entrambe nulle, l'equazione ha due radici uguali tra loro ed entrambe nulle.
In tal caso la radice x uguale a 0 si definisce radice doppia.